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线性代数中特征值和特征向量的意义(特征值与特征向量求法详解)
导语:趣味线性代数(八),特征值和特征向量
给出两个向量(3,-1)、(-1,3),如下图:
现在,我们玩个小游戏,按住向量(3,-1)的Y轴坐标不动,随意改变它的X轴坐标,相当于下图中的箭头在直线Y=-1上滑动;按住向量(-1,3)的X轴坐标不动,随意改变它的Y轴坐标,相当于下图中的箭头在直线X=-1上滑动。问,如果两个箭头滑动的正负方向和数量是相同的,有没有可能两条向量线段变为共线?
如上图,滑动后的向量线段为(3-t,-1)、(-1,3-t)。要判断两者能不能共线,只要使两者的斜率相等,即(3-t)/-1=-1/(3-t),再看看t有没有解就可以了。解得。
写到这里,我们可以引入特征值和特征向量的定义了。
设是阶方阵,如果数和n维非零向量x使关系式成立,那么,这样的数称为方阵的特征值,非零向量称为对应于特征值的特征向量 。
式,也可以写作。
可以看得出来,特征值就是上面提到的未知数。
同时,是包含两种未知量(特征值和特征向量)的齐次线性方程组,但是,因为中非零向量,则有行列式。
这是一件很有趣的事情,齐次线性方程组中另外包含着一个一元多次方程,这就使得整体求解的过程变得简单了。
例: 求矩阵
的特征值和特征向量。
解:A的特征多项式为
解得A的特征值为,。
对应地,求得基础解系:
所以是对应于的全部特征向量;是对应于的全部特征向量。
结构抗震计算是特征值与特征向量的应用场景之一。
已知无阻尼多自由度振动方程:
设的解为,那么
两式代入振动方程,化简得:
这样,求解振动方程就转化为求特征值与特征向量了。
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