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一次函数中k和b的含义(一次函数中的k和b怎么求)

导语:一次函数中的k和b,不用到处搜了,这节课就是最好的诠释

这节课讲解一次函数解析式中k和b的含义与用法。

k和b的符号决定着一次函数图象的大致位置,可以帮助我们快速地画出一次函数的草图。其中k的符号决定着图象相对于y轴的倾斜方向,b的符号决定着图象与y轴的哪个半轴相交。

为了让大家彻底弄清楚k和b的用法,本节课将分三个部分进行详细的讲解:一、k的用法;二、b的用法;三、k和b的结合用法。

一、k的用法:

k的符号控制着直线相对y轴向哪个方向倾斜。

1、k>0时,直线向右倾斜,y随x增大而增大;反过来也成立,即若y随x增大而增大,则直线向右倾斜,此时k>0。

(1)、什么叫k>0时,直线向右倾斜?

如下图:

(2)、什么叫y随x的增大而增大?

如图,L是一条向右倾斜的直线,解析式为y=kx+b(k>0),x4>x3>x2>x1。当x的值从x1逐渐增大到x4的过程中,对应的y值从y1逐渐增大到y4。简单地说,就是当k大于0时,若x的值增大了,则根据解析式y=kx+b求得的y的值也会随之增大。这就叫y随x的增大而增大。

2、k<0时,直线向左倾斜,y随x增大而减小;反过来也成立,即若y随x增大而减小,则直线向左倾斜,此时k<0。如下图:

例1:对于函数y=5-3x,因为k=-3<0,所以y随x增大而减小。与b的符号无关。

例2:已知一次函数y=(a-4)x+b,当a、b满足什么条件时?y随x增大而增大。 

解:因为y随x增大而增大,所以x的系数a-4必须大于0,令a-4>0得:a>4。与b的值无关。

例3:点A(x1,y1)和点B(x2,y2)都在直线y=-4x+2上,若x1>x2,比较y1和y2的大小。

解:因为k=-4<0,所以y随x的增大而减小,即x的值越大,对应的y的值就越小。故因为x1>x2,所以y1<y2。

二、b的用法:

b是直线y=kx+b与y轴交点的纵坐标,所以b>0时,直线与y轴正半轴相交,反过来也成立,即若直线与y轴正半轴相交,则b>0;b<0时,直线与y轴负半轴相交,反过来也成立,即若直线与y轴负半轴相交,则b<0。如下图:

例如:试画出一次函数y=kx+5(k≠0)的图象。

因为b=5,所以一次函数的图象与y轴的交点纵坐标必定为5,也就是肯定过点(0,5)。k的符号未知,所以要分两种情况进行讨论,k>0时,直线向右倾斜,其图象见下图中的红线;k<0时,直线向左倾斜,其图象见下图中的绿线。

再如:已知一次函数y=(a-4)x+b,当a、b满足什么条件时?图象与y轴的交点在x轴下方。

图象与y轴的交点在x轴下方,意思是一次函数的图象与y轴负半轴相交,这只与常数项b的符号有关,与x的系数k,即a-4无关。但一次函数的k值不能等于0,所以a、b满足的条件为:a≠4且b<0。

三、k和b的符号结合在一起,决定着直线经过哪些象限。

例如:k>0且b>0时,直线y=kx+b经过第一、二、三象限;反过来,若直线y=kx+b经过第一、二、三象限,则k>0且b>0。如图所示:

再如:k>0且b<0时,直线y=kx+b经过第一、三、四象限;反过来,若直线y=kx+b经过第一、三、四象限,则k>0且b<0。如图所示:

例4:已知一次函数y=(a-4)x+b,当a、b满足什么条件时?图像过第二、三、四象限。

解:如下图,直线过第二、三、四象限。因为直线向左倾斜,所以a-4<0,即a<4;因为直线与y轴负半轴相交,所以b<0。所以当a<4且b<0时,图像过第二、三、四象限。

例5:试写出一个一次函数的解析式,使其图像经过第一、二、四象限,并讨论k、b的符号及x、y之间的增减性。

解:如下图,直线经过第一、二、四象限。这条直线向左倾斜,所以k<0,y随x增大而减小;直线与y轴正半轴相交,所以b>0。所以只要满足k<0且b>0的解析式都可以,例如:y=-2x+1,y=-3x+3,等等。

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