水平面内的圆周运动公式(水平面内的圆周运动的临界问题)

导语：专题4.5 水平面内的圆周运动问题

水平面内的圆周运动是指圆周运动的圆形轨迹在水平面内，出题多以生活中常见实例或水平圆周运动模型为例分析向心力及临界条件问题。

1. 水平面内圆周运动的“摩擦力模型”是指依靠静摩擦力提供物体在水平面内做圆周运动的向心力。

2. 水平面内圆周运动的“弹力模型”是指依靠弹力提供物体在水平面内做圆周运动的向心力。

3. 水平面内圆周运动的“圆锥摆模型”是指依靠弹力（细线拉力或倾斜面弹力）和物体重力的合力使物体在水平面内做匀速圆周运动。

一火车转弯问题

【典例1】铁路在弯道处的内外轨道高低是不同的，已知内外轨道对水平面倾角为θ(如图所示)，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度小于

A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压；

B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压；

C．这时铁轨对火车的支持力等于mg/cos θ；

D．这时铁轨对火车的支持力大于mg/cos θ.

二 圆锥摆模型

【典例2】(多选)如图所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的( )

A．周期相同

B．线速度的大小相等

C．角速度的大小相等

D．向心加速度的大小相等

【典例3】如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是( )

A．A的速度比B的大

B．A与B的向心加速度大小相等

C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等

D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小

三 水平面内圆周运动的临界问题

1．水平面内圆周运动的临界问题

关于水平面内的匀速圆周运动的临界问题，主要是临界速度和临界力的问题。常见的是与绳的拉力、弹簧的拉力、接触面的弹力和摩擦力等相关的问题。通过受力分析来确定临界状态和临界条件，是较常用的解题方法。

2．处理临界问题的解题步骤

(1)判断临界状态

有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往是临界状态。

(2)确定临界条件

判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来。

(3)选择物理规律

当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别对于不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解。

【常见的三种临界问题】

1. 与绳的弹力有关的临界问题

质量为m的物体被长为l的轻绳拴着(如图所示)，

且绕绳的另一端O做匀速圆周运动，当绳子的拉力达到最大值Fm时，物体的速度最大，即Fm＝mv2/r，解得vm＝/Fml/m。这就是物体在半径为l的圆周上运动的临界速度。

【典例探究】

【典例1】如图所示，在光滑的水平桌面上有一光滑小孔O，一根轻绳穿过小孔，一端连接质量为m＝1 kg的小球A，另一端连接质量为M＝4 kg的物体B.求：

(1) 当A球沿半径为R＝0.1 m的圆做匀速圆周运动，其角速度为ω＝10 rad/s时，B对地面的压力为多少？

(2) 要使物体B对地面恰好无压力，A球的角速度应为多大？(g取10 m/s2)

【审题指导】

由于小球A做匀速圆周运动的向心力由绳子的拉力提供，而绳子的拉力又改变物体B对地面的压力，因此从绳子的拉力入手是解决本题的关键，绳子的拉力是联系小球A与物体B受力情况的“桥梁”。

2. 因静摩擦力存在最值而产生的临界问题

在水平转台上做圆周运动的物体，若有静摩擦力参与，则当转台的转速变化时，静摩擦力也会随之变化，当F静达到最大值时，对应有临界角速度和临界线速度。解决这类问题一定要牢记“静摩擦力大小有个范围，方向可以改变”这一特点。

质量为m的物体在水平面上做圆周运动或随圆盘一起转动(如图甲、乙所示)时，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大值Ffm时，物体运动的速度也达到最大，

即

这就是物体以半径r做圆周运动的临界速度。

【典例2】 如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l.木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )

【典例3】所示，水平转台上放有质量均为m的两个小物块A、B，A离转轴中心的距离为L，A、B间用长为L的细线相连。开始时，A、B与轴心在同一直线上，细线刚好被拉直，A、B与水平转台间的动摩擦因数均为μ，求：

(1)当转台的角速度达到多大时细线上开始出现张力？

(2)当转台的角速度达到多大时A物块开始滑动？

3. 受弹簧或橡皮条约束的匀速圆周运动的临界问题

用弹簧连接的物体做圆周运动，当运动状况发生改变时，往往伴随着半径的改变，从而导致弹簧弹力发生变化。处理该类问题时关键是分析弹力的大小和方向的改变。特别是有摩擦力参与的问题更需要和静摩擦力的特点相配合，理智分析，明确半径是否改变、什么情况下改变、是伸长还是缩短等。

【典例4】在图中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴OO′旋转，现将轻质弹簧的一端固定在圆盘中心，另一端系住一个质量为m的物块A，设弹簧劲度系数为k，弹簧原长为L.将物块置于离圆心R处，R>L，圆盘不动，物块保持静止。现使圆盘从静止开始转动，并使转速ω逐渐增大，物块A相对圆盘始终未动。

当ω增大到

时，物块A是否受到圆盘的静摩擦力？如果受到静摩擦力，试确定其方向。

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