二次函数之平行四边形存在性问题(中考数学二次函数平行四边形)

导语：九年级数学：二次函数中平行四边形的存在性问题，妙用全等

香雪海教育

题目：

解析：

（1）待定系数法。

将点A、B坐标代入抛物线解析式中，联解一1一b+c=0及一25+5b+c得b=4，c=5。故抛物线的解析式为y=一x^2+4x+5=一（x一2）^2+9。

（2）先求点C先后两次落在抛物线上对应点的横坐标，再求平移单位数m。

∵A（一1，0），AD=5，CD=8，

∴C（一6，8）。

将Rt△ACD沿x轴向右平移时，点C所在直线上的点的纵坐标都相同，等于yC=8。

∴当一x^2+4x+5=8时，x1=1，x2=3，即为点C落在抛物线上时对应点的横坐标。

∴m1=1+DO=1+6=7，

m2=3+DO=3+6=9。

（3）结论：在抛物线上存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形。

分三种情况讨论：

①当以BE为对角线构成平行四边形BQ1EP1时，如下图所示，过点P1作x轴的垂线，交于点M，过点Q1作X轴的平行线EN的垂线，垂足为点N。

∵LBMP1=LENQ1=RtL，

LMBP1=LNEQ1（两边分别平行的两个角相等或互补，这里MB∥EN，P1B∥EQ1），

P1B=Q1E，

∴△BP1M≌△EQ1N，

∴EN=BM。

∵点P在抛物线的对称轴x=2上，

∴OM=2，则EN=BM=XB一OM=5一2=3，

而E（1，8），

∴N（4，8）。

将XQ1=xN=4代入y=一x^2+4x+5中，得yQ1=5。

∴Q1（4，5）。

②当点Q在对称轴右边抛物线上，以BE为边构成平行四边形BQ2P2E时，如下图所示，过点E作EF⊥x轴于点F，作Q2R⊥直线x=2于点R，EB交对称轴于点S。

∵LEFB=LP2RQ2=RtL，

LFEB=LP2SB=LRP2Q2，

EB=P2Q2，

∴△FEB≌△RP2Q2，

∴RQ2=FB=OB一OF=5一1=4。

∴xQ2=2+4=6。将此代入抛物线解析式中，

得yQ2=一7。

∴Q2（6，一7）。

③当点Q在对称轴左边抛物线上，以BE为边构成平行四边形BP3Q3E时，如下图所示作辅助线，与②同法可求得Q3（一2，一7）。

总之，符合条件的点Q的坐标分别为：Q1（4，5），Q2（6，一7），Q3（一2，一7）。

延伸：在题目条件完全不变的情况下，怎么确定点P的坐标？

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