换元法解题过程(换元法怎么解)

导语：一题多解，换元法很常用，几何法新奇。详细解析初中数学题114。

解方程：√16-x²+√9-x²=5

解：方法一：

令√16-x²=m，√9-x²=n，

则m+n=5，①

又m²=16-x²，n²=9-x²，

∴m²-n²=7

∴(m+n)(m-n)=7，②

将①代入②得m-n=7/5，③

由①和③联立方程得m=16/5，

∴√16-x²=16/5，

∴x²=16-(16/5)²=144/25

∴x=±12/5。

方法二：令√16-x²+√9-x²=5为①

再令√16-x²-√9-x²=t为②，

由①x②得，

16-x²-(9-x²)=5t，

∴7=5t，

∴t=7/5，

又由①+②得，

√16-x²=16/5，

∴x²=16-(16/5)²=144/25

∴x=±12/5。

方法三：直解。

对√16-x²+√9-x²=5两边平方得，

16-x²+9-x²+2√(16-x²)(9-x²)=25

整理得x²=√(16-x²)(9-x²)，

等式两边再平方得，

x⁴=144-25x²+x⁴，

∴25x²=144，

∴x²=144/25，

∴x=±12/5。

方法四：几何法

由√16-x²+√9-x²=5可知，

√4²-x²+√3²-x²=5，

联想勾股定理，

构造两个有公共直角边x的直角三角形，

如下图所示，

由图可知，x就是Rt△ABC斜边上的高，

我们用面积法去求x，

因为S△ABC=AB·AC/2

=BC·AD/2，

即4×3/2=5x/2,

解得x=12/5。

此时应注意，因为我们把情景设定在直角三角形中，

一定是x=12/5，

但因为(±x)²=x²

对于x=-12/5实际也是适应的，

故x=±12/5。

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