导数与微分考研真题(考研高数导数与微分考研真题)

导语：考研数学：导数与微分考纲要求及复习笔记，纯干货

在考研数学中，《高等数学》第二章导数与微分的内容和第三章的内容合并为了一元函数微分学的考点，而导数与微分却是一个不能忽视的重要知识点。

在考研大纲中，数二对于导数与微分的考试要求如下：

1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程。了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的积分。

3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。

针对以上大纲要求，除了”会求平面曲线的切线方程和法线方程“是下册的内容，在按章节进行的基础复习中就不做讨论。以下是针对考点对第二章核心知识和常见题型的总结：

导数的定义

导数的定义有很多种形式，比较常用的是他的等价定义①，类比左、右极限，我们需要关注导数的左导数和右导数，导数存在等价于左、右导数存在且相等。此外还有一点需要注意的是可导一定连续，连续不一定可导。

这里给出了连续与可导的关系证明，下面是两个反例说明了连续推不出可导，建议看一看反证法的这个思路。

可微的概念

在上面已经说过了可导一定连续，连续不一定可导。那么可导和可微是什么关系呢？显然，可导能够推出可微，可微也一定可导。证明过程如下：

求导公式

在计算导数的过程中，我们需要掌握常见函数的求导公式，常数函数，指数函数，对数函数，幂函数，三角函数，反三角函数等等，具体常用的求导公式已经列写在了这张笔记纸上。

四则运算及复合函数求导

导数的四则运算在考研大纲中也是明确要求要”掌握“，其中主要要注意的是乘法的导数可以有一个推论，也就是无限多个函数相乘的导数，在下面的第5页笔记中给出了两种求这种”高难度“导数的方法。

反函数导数

反函数的导数在大纲中也明确要求了要会求，主要要区别的是大学里的反函数和中学阶段所学的反函数有一个最主要的区别就是大学中的反函数是不用对调x和y的，如果按照中学那样对调，x和y就互换了定义域和值域，在反函数求导中这是要避免的一类错误。

常考题型总结

显函数和复合函数的求导非常基础，在研究生考试中不是主流的考法，需要重点关注的是

case3中隐函数的求导，方法是将y看成关于x的一个函数，然后对等式两边同时对x求导。

除了上面的隐函数求导，还有一类重要考点就是参数方程所确定的函数的求导问题，这里的核心就是明确对象，分子分母同时除以dt，在遇到二阶导数时，更要注意是对x求导还是对参数t求导，这点一旦混淆，后果很严重。

还有一类题型是分段函数求导，和在极限中我们遇到的情况一样，要额外关注交界点，同时注意题目中的隐含条件，比如题目告诉你在某一点的导数存在，那么一定要想到可导一定连续，利用”连续“来建立关系，为求解位置参数建立条件。

最后一类题型就是高阶导数的求导问题，有两种方法，一种是归纳法，适用于求导后特征明显的函数，还有一种是公式法，利用正弦，余弦和排列组合公式来求高阶导数，具体解题方法请看下面例题。

总的来说，《高等数学》第二章”导数与微分“在考研数学中主要考察导数和微分的概念，函数的可导性与连续性之间的关系，导数和微分的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的导数，高阶导数这些知识点。

而这些考点在上面的复习笔记中都以及详细的给了出来，一共10页。数二的每一章我都会给出类似的复习总结性笔记，大家可以关注我以便获取这方面的信息。这些总结建议各位研友收藏起来，在吃饭排队之余打开再看看，利用好碎片时间，祝考研成功。

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