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高考二面角的求法(高中数学立体几何二面角大题经典例题及答案)

导语:二面角的高考试题,可难可易,立体几何最热题型之一

二面角是立体几何中每年必考的重要内容之一,求解方法主要是作出二面角的平面角,通过解三角形而求角,然而,由于高考试题中二面角问题情景设计的多样性,使得求解二面角成为难点。

求二面角大小是历年高考的热点问题,每年各省、市的高考试题中几乎都会出现此类题型。

所谓二面角,是指由一条直线出发,两个半平面组成的图形,它是我们高中数学知识的重点。

从现阶段来看,很多同学尚未掌握到平面与平面的二面角正确求解方式。

现在,综合学习经验,归纳出二面角的几个求解方式,让所有同学都能够高效完成二面角知识的学习,具备一定的二面角问题解题能力,更好的解决日常学习中所遇到的二面角求解问题,希望都能借此攻克高考大关,取得优异的成绩。

典型例题分析1:

如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°

(Ⅰ)证明:AB⊥A1C;

(Ⅱ)若AB=CB=2,A1C=√6,求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积.

证明:(Ⅰ)如图,

取AB的中点O,连结OC,OA1,A1B.

因为CA=CB,所以OC⊥AB.

由于AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B为等边三角形,

所以OA1⊥AB.

因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.

又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A1C;

(Ⅱ)解:由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形,

所以OC=OA1=√3.

又A1C=√6,则A1C2=OC2+OA12,故OA1⊥OC.

因为OC∩AB=O,

所以OA1⊥平面ABC,OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高.

又△ABC的面积S△ABC=√3,

故三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC×OA1=√3×√3=3.

考点分析:

直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积.

题干分析:

(Ⅰ)由题目给出的边的关系,可想到去AB中点O,连结OC,OA1,可通过证明AB⊥平面OA1C得要证的结论;

(Ⅱ)在三角形OCA1中,由勾股定理得到OA1⊥OC,再根据OA1⊥AB,得到OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高,利用已知给出的边的长度,直接利用棱柱体积公式求体积.

​典型例题分析2:

如图,四边形ABCD与BDEF均为菱形,设AC与BD相交于点O,若∠DAB=∠DBF=60°,且FA=FC.

(1)求证:FC∥平面EAD;

(2)求二面角A﹣FC﹣B的正弦值.

解:(1)证明:∵四边形ABCD与BDEF均为菱形,

∴AD∥BC,DE∥BF.

∵AD⊄平面FBC,DE⊄平面FBC,

∴AD∥平面FBC,DE∥平面FBC,

又AD∩DE=D,AD⊂平面EAD,DE⊂平面EAD,

∴平面FBC∥平面EAD,又FC⊂平面FBC,

∴FC∥平面EAD.…

考点分析:

二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定.

题干分析:

(1)证明AD∥BC,DE∥BF.推出AD∥平面FBC,DE∥平面FBC,然后证明平面FBC∥平面EAD,即可证明FC∥平面EAD.

(2)连接FO、FD,说明△DBF为等边三角形,证明AC⊥FO,FO⊥平面ABCD,OA、OB、OF两两垂直,建立空间直角坐标系O﹣xyz,设AB=2,求出相关点的坐标,求出平面BFC的一个法向量,平面AFC的一个法向量,设二面角的平面角为θ,利用空间向量的数量积,求解二面角A﹣FC﹣B的正弦值.

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