折叠问题的常用方法(折叠类题型快速解题)

思路分析：

本题主要是平面图形的折叠类问题，因此折叠类问题的基本考察点需要明白：相等线段、相等角，注意此题的特殊点：1.折叠两次；2.折叠以后点C与点B`不重合。

两次折叠之后，出现垂直，因此本题可以使用两种思路来进行解答：1.使用代数法中的一次函数垂直推论；2.使用几何法中的勾股定理解答。

解法一：代数法

由题可知，矩形ABCD进行两次折叠以后，得到点B`、点C`、折痕AE、EF

所以AB`⊥B`E，FC`⊥B`E，且∠AEB=AEB`，∠B`EF=∠CEF

AB=AB`=8，B`E=BE，CE=C`E，CF=C`F=3

所以∠AEF=∠AEB`+∠B`EF=0.5×（∠B`EB+∠B`EC）=0.5×180°=90°，即AE⊥EF

又因为AB=CD=8，AD=BC=10

所以 以点B为坐标原点，BC为横轴，BA为纵轴建立平面直角坐标系

所以点B（0，0）、点A（0，8）、点C（10，0）

设BE=m，则点E（m，0），0＜m＜10

因为CF=3，所以点F（10，3）

因为直线AE⊥EF，所以经过A、E两点的一次函数斜率为：k1=（0-8）/（m-0）=-8/m

同理可得经过点E、F的一次函数斜率为：k2=（0-3）/（m-10）=-3/（m-10）

根据两个一次函数垂直的推论可知：k1×k2=-1，即【-8/m】×【-3/（m-10）】=-1

解之：m1=4，m2=6

注意：两次折叠后，C点落在了线段B`E上的点C`处，那么C`E＜B`E，

即BE＞CE，所以BE=m=6

此时B`C`=B`E-C`E=BE-CE=6-4=2，AB`=AB=8

所以B`C`/AB`=2/8=1/4=0.25

解法二：几何法

由题可知，矩形ABCD进行两次折叠以后，得到点B`、点C`、折痕AE、EF

所以AB`⊥B`E，FC`⊥B`E，且∠AEB=AEB`，∠B`EF=∠CEF

AB=AB`=8，B`E=BE，CE=C`E，CF=C`F=3

所以∠AEF=∠AEB`+∠B`EF=0.5×（∠B`EB+∠B`EC）=0.5×180°=90°，即AE⊥EF

又因为AB=CD=8，AD=BC=10

（前面过程和代数法一致，不必要改变）

连接AF，过点F作FH⊥AB于点H

此时FH=BC=AD=10，AH=AB-BH=AB-CF=8-3=5

设BE=m，则CE=10-m

由勾股定理可得：在△AHF中，AF^2=AH^2+FH^2=25+100=125

在△ABE中，AE^2=AB^2+BE^2=64+m^2

在△CEF中，EF^2=CE^2+CF^2=9+（10-m）^2

在△AEF中，AF^2=AE^2+EF^2

联立上述四个等式，解之：m=4或6

注意：注意：两次折叠后，C点落在了线段B`E上的点C`处，那么C`E＜B`E，

即BE＞CE，所以BE=m=6

此时B`C`=B`E-C`E=BE-CE=6-4=2，AB`=AB=8

所以B`C`/AB`=2/8=1/4=0.25

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