树状数组简单易懂的详解(树状数组的算法原理)

导语：经典算法之树状数组：轻松搞懂树状数组（附python完整代码）

树状数组可以解决什么样的问题：

这里通过一个简单的题目展开介绍，先输入一个长度为n的数组,如[1,2,3,5,10,8]，然后我们有如下两种操作：

输入一个数m，输出数组中下标1~m的前缀和对某个指定下标的数进行值的修改

多次执行上述两种操作,如何操作呢？

方法1：对于一个的数组，如果需要求1~m的前缀和我们可以将其从下标1开始对m个数进行求和，对于n次操作，时间复杂度是O(n^2)，对于值的修改，我们可以直接通过下标找到要修改的数，n次操作时间复杂度为O(n)，在数组n值比较大的时候，求前缀和（即前k个数的和）的效率显得低了

方法2：

那么有人提出了一种优化的方式：初始我们用一个数组A的保存每个位置的初始值，然后用一个辅助数组B存放的是下标为i的时候A数组的前i个的和（前缀和），那么当我们需要查询m个数的前缀和的时候只要直接使用下标对B数组进行查询即可，n次查询，时间复杂度为O(n)，而此时，对于单点更新值的维护消耗，由原来的O(n)变成了O(n^2)，因为每一次与更新单点值都会对后面的已经计算好的B数组前缀和的值造成影响，需要不断更新B数组的值，n次更新维护的消耗自然就变成了O(n^2)，更新的效率变得低下

方法3：

树状数组(Binary Indexed Tree(B.I.T), Fenwick Tree)，就是本文介绍的方法那么是否有一种方法可以让查询和更新的时间复杂度都小一些呢，至少可以令人接受，这里将介绍树状数组如何处理前缀和查询和单点更新的问题，对于n次操作，时间复杂度都为O(nlogn)

图1-数状数组C与元素组A对应关系

如图1，对于一个长度为n的数组，A数组存放的是数组的初始值，引入一个辅助数组C（我们通过C数组建立树状数组）

C1 = A1

C2 = C1 + A2 = A1 + A2

C3 = A3

C4 = C2 + C3 + A4 = A1 + A2 + A3 + A4

C5 = A5

C6 = C5 + A6 = A5 + A6

C7 = A7

C8 = C4 + C6 + C7 + A8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8

我们称C[i]的值为下标为i的数所管辖的数的和，C[8]存放的就是被编号8所管辖的那些数的和（有8个），而下标为i的数所管辖的元素的个数则为2^k个（k为i的二进制的末尾0的个数）举两个例子查询下标m==8和m==5所管辖的数的和

C[i]数学表达式：C[i] = A[i - 2^k+1] + A[i - 2^k+2] + ... + A[i]（k为i的二进制的末尾0的个数）

8 = 1000（8的二进制），末尾3个0，故k == 3，所管辖的个数为2^3 == 8，C8是8个数的和5 = 0101（5的二进制），末尾没有0，故k == 0，所管辖的个数为2^0 == 1，C5是一个数的和（它本身A5）树状数组-求和

而对于输入的数m，我们要求编号为m的数的前缀和A1~Am（这里假设树状数组已经建立，即C1~C8的值已经求出，别着急，在本文的最下方会做出建立树状数组的过程讲解，因为现在是在求前缀和，就假设C数组已经可用了吧）举两个例子m==7和m==6（sum(i)表示求编号为i的前缀和）

m==7 sum(7) = C7 + C6 + C4那么我们是怎么得到编号7是由哪几个C[i]求和得到呢（C4, C6, C7怎么得到的），这里有介绍一种巧妙的方法：对于查询的m，将它转换成二进制后，不断对末尾的1的位置进行-1的操作，直到全部为0停止7的二进制为0111（C7得到），那么先对0111的末尾1的位置-1，得到0110 == 6（C6得到），再对0110末尾1位置-1，得到0100 == 4（C4得到），最后对0100末尾1位置-1后得到0000（结束信号），计算停止，至此C7，C6，C4全部得到，求和后就是m == 7时它的前缀和

m==6 sum(6) = C6 + C4m == 6时也是一样，先转成2进制等于0110，经过两次变换后为0100（C4）和0000（结束信号），那么求和后同样也得到了预计的结果

这里要介绍一个高效的方法，lowbit(int m)，这是一个函数，它的作用是求出m的二进制表示的末尾1的位置，对于要查询m的前缀和，m = m - lowbit(m)代表不断对二进制末尾1进行-1操作，不断执行直到m == 0结束，就能得到前缀和由哪几个Cm构成，十分巧妙，lowbit也是树状数组的核心

python代码

def lowbit(m):    return m &(-m)

关于m&(-m)很多童鞋可能感到困惑，那么就不得不提及一下负数在计算机内存中的存储形式，负数在计算机中是以补码的形式存储的，如13的二进制表示为1101，那么-13的二进制而将13二进制按位取反，然后末尾+1，即0010 + 0001 = 0011，那么1101 & 0011== 0001，很显然得到m == 13二进制末尾1的位置是2的0次方位，将13 - 0001 == 12，再对12执行lowbit操作，1100 & 0100 == 0100，也很轻易得到了m == 12时二进制末尾1的位置是2的2次方位，将12 - 0100 == 8，再对8执行lowbit操作，0100 & 1100 == 0100，得到m == 8时二进制位是2的2次方位，8 - 0100 == 0（结束操作），通过循环得到的13，12，8，则sum(13) == C13 + C12 + C8

求前缀和的代码

def sum(m):    ans = 0    while m > 0 :        ans += c[m]        m = m - lowbit(m)    return ans

对于n次前缀和的查询，时间复杂度为O(nlogn)

树状数组-单点更新

对于输入编号为x的值，要求为它的值附加一个value值即A[i]=A[i]+value，我们把图再一次拿下来

图2-树状数组C与初始数组A对应关系

假设x==2，value==5，那么我们先找到A[2]的位置，通过观察我们得知，如果修改了A[2]的值，那么管辖A[2]的C[2]，C[4]，C[8]的前缀和都要加上value（所有的祖先节点），那么和查询类似，我们如何得到C2的所有祖先节点呢（因为C2和A2的下标相同所以更新时查询从C[x]开始），依旧是上述的巧妙的方法，但是我们把它倒过来对于要更新x位置的值，我们把x转换成二进制，不断对二进制最后一个1的位置+1，直到达到数组下标的最大值n结束

对于给出的例子x==2，假设数组下标上限n==8，x转换成二进制后等于0010（C2），对末尾1的位置进行+1，得到0100（C4），对末尾的1的位置进行+1，得到1000（C8），循环结束，对C2，C4，C8的前缀和都要加上value，当然不能忘记对A[2]的值+value，单点更新值过程结束

python代码实现

def update(x,value):    A[x] += value  传入初始数组，构建树状数组        self.size = len(arrayA)  保存初始数组以及变更        34;&34;            构建类的初始数组A和树状数组B            这里有一个注意事项，我们对于求前缀和与单点更新时，树状数组C是拿来直接使用的，            那么问题来了，树什么时候建立好的，我怎么不知道？?            事实上，对于一个输入的数组A，我们一次读取的过程，就可以想成是一个不断更新值的过程            （把A1~An从0更新成我们输入的A[i]），所以一边读入A[i]，一边将C[i]涉及到的祖先节点值更新，             完成输入后树状数组C也就建立成功了            &34;&【注意】数组从0下标开始，update方法从1开始    def lowbit(self,m):        &34;&34;&34;        return m & (-m)    def update(self, i, val):   更新初始数组        while i <= self.size:            self.arrayC[i-1] += val  求前缀和，sum方法从1开始        ans = 0        while i > 0:            ans += self.arrayC[i-1] 34;__main__&打印初始数组    print(fenwickTree.arrayC) 求arrayA前4项的和    fenwickTree.update(1,3)  打印更新数组[4,2,3,4,5,6,7,8]    print(fenwickTree.arrayC)  求arrayA前4项的和

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