高考数学提升技巧(高中数学直线题型)

导语：提升高考数学基础知识运用能力，掌握好直线、平面垂直相关知识

高考数学一直很注重对考生逻辑思维能力的考查，一方面是基于数学这门学科的特殊性，另一方面是高考数学具有选拔人才的功能，为高校输送优秀的人才。因此，在数学学习过程中，我们一定要加强逻辑思维能力的训练。

如与立体几何相关的数学问题，一直是高考数学必考的热门题型，此类问题题型新颖、方法多样，能很好考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力等等数学基本能力。

纵观近几年的高考数学立体几何问题，我们发现线面垂直、面面垂直是热门考点之一，重点考查到线线、线面、面面位置关系等基本知识概念。

直线和平面关系不仅仅是学好立体几何的基础，也是历年高考数学的重点和热点,主要包括平面的基本性质、空间平行直线和异面直线、线面平行与面面平行和线面与面面垂直问题。

因此，今天我们就来讲讲与直线、平面垂直的判定与性质相关的高考数学问题。

那么，什么是直线与平面垂直？

直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．

直线与平面垂直的判定定理：

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与平面垂直。

直线与平面垂直的判定定理的推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面。

直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

典型例题分析1：

已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是(　　)

A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n

B．若m⊥α，m⊥n，则n∥α

C．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n

D．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β

解析：选C　

对于选项A，若m∥α，α∩β＝n，则m∥n，或m，n是异面直线，所以A错误；

对于选项B，n可能在平面α内，所以B错误；

对于选项D，m与β的位置关系还可以是m⊂β，m∥β，或m与β斜交，所以D错误；

由面面垂直的性质可知C正确．

为了能更好解决直线与平面垂直相关的数学问题，我们掌握一些证明直线和平面垂直的常用方法有：

1、利用判定定理；

2、利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；

3、利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；

4、利用面面垂直的性质；

5、当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

典型例题2：

设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题：

①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.

其中正确命题的个数为(　　)

A．1　　B．2

C．3 D．4

解析：选D　

对于①，由b不在平面α内知，直线b或者平行于平面α，或者与平面α相交，若直线b与平面α相交，则直线b与直线a不可能垂直，这与已知“a⊥b”相矛盾，因此①正确。

对于②，由a∥α知，在平面α内必存在直线a1∥a，又a⊥β，所以有a1⊥β，所以α⊥β，②正确。

对于③，若直线a与平面α相交于点A，过点A作平面α、β的交线的垂线m，则m⊥β，又α⊥β，则有a∥m，这与“直线a、m有公共点A”相矛盾，因此③正确。

对于④，过空间一点O分别向平面α、β引垂线a1、b1，则有a∥a1，b∥b1，又a⊥b，所以a1⊥b1，所以α⊥β，因此④正确．综上所述，其中正确命题的个数为4。

典型例题3：

如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．

(1)求三棱锥A－MCC1的体积；

(2)当A1M＋MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC.

解：(1)由长方体ABCD－A1B1C1D1知，

AD⊥平面CDD1C1，

∴点A到平面CDD1C1的距离等于AD＝1.

又S△MCC1＝1/2CC1×CD＝1/2×2×1＝1，

∴VA－MCC1＝1/3AD·S△MCC1＝1/3.

(2)证明：将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°展开，与侧面ADD1A1共面(如图)，当A1，M，C′共线时，A1M＋MC取得最小值．

∴CC12＝MC12＋MC2，得∠CMC1＝90°，

即CM⊥MC1.

又由长方体ABCD－A1B1C1D1知，B1C1⊥平面CDD1C1，

∴B1C1⊥CM.

又B1C1∩C1M＝C1，

∴CM⊥平面B1C1M，得CM⊥B1M.

同理可证，B1M⊥AM.

又AM∩MC＝M，

∴B1M⊥平面MAC.

垂直关系的证明就是学会熟练运用相关的性质定理和判定定理，将各种垂直关系不断进行转化。在解决实际问题的过程中，我们可以先从题目条件入手，明确已有的垂直关系，再从结论分析待证的垂直条件，从而建立起已知与未知之间的关系。

要记住一些判定面面垂直的方法：

1、面面垂直的定义；

2、面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)。

在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直。

转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直。

在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：

在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理．

记住几个常用的结论：

(1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．

(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

典型例题分析4：

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．

求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；

(2)直线A1F∥平面ADE.

解：(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，

又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.

又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，

CC1∩DE＝E，

所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，

所以平面ADE⊥平面BCC1B1.

(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，

所以A1F⊥B1C1.

因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，

所以CC1⊥A1F.

又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，

所以A1F⊥平面BCC1B1.

由(1)知AD⊥平面BCC1B1，

所以A1F∥AD.

又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，

所以A1F∥平面ADE.

垂直关系证明蕴含着丰富的数学思想方法，如转化思想方法，即由线线垂直得线面垂直（线面垂直的判定定理），由线面垂直得面面垂直（面面垂直的判定定理），而由面面垂直得线面垂直（面面垂直的性质定理），由线面垂直得线线垂直（线面垂直的定义）。

要想拿到立体几何的分数，那么平时一定要加强再基础知识、基本技能训练，尤其对定义、定理的由来和结论的形成加强学习，这样才能从根本理解数学概念、定理、性质等等。如要非常透彻去理解线面垂直的定义，掌握线面垂直的判定定理和性质定理，掌握面面垂直的判定定理和性质定理。学会运用公理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题。

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