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竖直面内的圆周运动公式(竖直平面内的圆周运动问题)

导语：专题4.6 竖直面内的圆周运动问题

1. 轻绳模型

绳或光滑圆轨道的内侧，如图所示，它的特点是：在运动到最高点时均没有物体支撑着小球。下面讨论小球(质量为m)在竖直平面内做圆周运动(半径为R)通过最高点时的情况：

(1) 临界条件

小球到达最高点时受到绳子的拉力恰好等于零，这时小球做圆周运动所需要的向心力仅由小球的重力来提供。根据牛顿第二定律得，

这个速度可理解为小球恰好通过最高点或恰好通不过最高点时的速度，也可认为是小球通过最高点时的最小速度，通常叫临界速度。

(2) 小球能通过最高点的条件：

当v>√Rg时，小球能通过最高点，这时绳子对球有作用力，为拉力。

当v＝√Rg时，小球刚好能通过最高点，此时绳子对球不产生作用力。

(3) 小球不能通过最高点的条件：

当v<√Rg时，小球不能通过最高点，实际上小球还没有到达最高点就已经脱离了轨道。（如图）

2. 轻杆模型

杆和光滑管道，如图所示，它的特点是：在运动到最高点时有物体支撑着小球。下面讨论小球(质量为m)在竖直平面内做圆周运动(半径为R)通过最高点时的情况：

(1) 临界条件

由于硬杆的支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度是：v临界＝0。

此时，硬杆对物体的支持力恰等于小球的重力mg。

(2) 如上图所示的小球通过最高点时，硬杆对小球的弹力情况为：

当v＝0时，硬杆对小球有竖直向上的支持力FN，其大小等于小球的重力，即FN＝mg.

当0<v<√Rg时，杆对小球的支持力竖直向上，大小随速度的增加而减小，其取值范围为0<FN<mg.

当v＝√Rg时，FN＝0.这时小球的重力恰好提供小球做圆周运动的向心力。

当v>√Rg时，硬杆对小球有指向圆心(即方向向下)的拉力，其大小随速度的增大而增大。

3. 两种模型分析比较如下：

4. 分析物体在竖直平面内做圆周运动时的易错易混点

（1）绳模型和杆模型过最高点的临界条件不同，其原因是绳不能有支撑力，而杆可有支撑力。

（2）对杆模型，在最高点有时不知是支撑力或拉力，此时可用假设法，然后根据结果的正负再确定。

（3）解答竖直平面内的圆周运动时，首先要搞清楚是什么模型，对不同模型的临界条件分析受力，找到向心力的来源。

5. 竖直面

内圆周运动的求解思路

【典例探究】

1. 轻绳模型

【典例1】如图所示，有一长为L的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球。现使小球恰好能在竖直面内做完整的圆周运动。已知水平地面上的C点位于O点正下方，且到O点的距离为1.9L。不计空气阻力。

(1)求小球通过最高点A时的速度vA；

(2)若小球通过最低点B时，细线对小球的拉力FT恰好为小球重力的6倍，且小球经过B点的瞬间细线断裂，求小球的落地点到C点的距离。

【典例2】为了研究过山车的原理，某物理小组提出了下列的设想：取一个与水平方向夹角为θ＝60°，长为L1＝2√3m的倾斜轨道AB，通过微小圆弧与长为L2＝√3/2 m的水平轨道BC 相连，然后在C 处设计一个竖直完整的光滑圆轨道，出口为水平轨道D，如图所示。现将一个小球从距A 点高为h ＝0.9 m 的水平台面上以一定的初速度v0 水平弹出，到A 点时速度方向恰沿AB 方向，并沿倾斜轨道滑下。已知小球与AB和BC 间的动摩擦因数均为μ＝√3/3。g取10 m/s2，求：