智猪博弈求纳什均衡

智猪博弈求纳什均衡

博弈论是研究决策者之间互动关系的一门学科。自诞生以来，它在经济学、政治学、军事科学等多个领域都有广泛的应用。纳什均衡则是博弈论中最重要的概念之一，指的是在各个决策者同时采取最优策略的情况下，没有任何一个决策者能够通过改变自己的策略来改进自己的收益。如何找到纳什均衡，一直是博弈论中的重要课题之一。本文将以“智猪博弈求纳什均衡”为题，从多个角度分析这个问题。

首先，我们来看看什么是智猪博弈。智猪博弈是一个经典的博弈论问题。它描述了两只聪明的猪在一个场景中的博弈。这两只猪不仅聪明，还能够理性地评估对方的行动和自己的收益。这个场景的规则非常简单：两只猪在一起吃东西。它们每次可以选择“心安理得”、“争风吃醋”或者“各凭本事”。其中，“心安理得”表示它们平分掉所有的食物，“争风吃醋”表示它们都想争取更多的食物，但如果两只猪争风吃醋，它们都只能得到一半的食物，“各凭本事”表示猪可以自己决定吃多少食物。这个问题的关键在于，如果一只猪选择“各凭本事”，另一只猪会选择什么？

其次，我们来看看如何求解这个问题的纳什均衡。为了方便解释，我们用数字来表示食物的份量，也就是说食物的价值为一个整数。假设猪A选择了“各凭本事”，并且决定吃N份食物。那么猪B可以选择的只有两个策略：选择“心安理得”或者选择“争风吃醋”。如果猪B选择“心安理得”，那么每只猪将会得到N份食物。如果猪B选择“争风吃醋”，那么每只猪都只能得到N/2份食物。因此，我们可以列出一个简单的矩阵：

| | 心安理得 | 争风吃醋 |

| --- | --- | --- |

| 各凭本事(N) | N, N | N/2, N/2 |

这个矩阵中，左上角的数字表示两只猪都选择“心安理得”时可以得到的食物价值。右上角和左下角的数字表示一只猪选择“争风吃醋”，另一只猪选择“各凭本事”时可以得到的食物价值。右下角的数字表示两只猪都选择“争风吃醋”时可以得到的食物价值。这个矩阵是个对称矩阵。

现在我们来看看如何找到纳什均衡。我们假设猪B选择“各凭本事”，并且决定吃M份食物。那么猪A可以选择的策略有三个：选择“心安理得”、“争风吃醋”或者选择“各凭本事”。如果猪A选择“心安理得”，那么每个猪都将得到M份食物。如果猪A选择“争风吃醋”，那么猪B将得到M/2份食物，猪A将得到(M-2)/2份食物。如果猪A选择“各凭本事”，那么猪A将得到(N-M)份食物，猪B将得到M份食物。同理，我们也可以列出上面那个矩阵的第二行：

| | 心安理得 | 争风吃醋 | 各凭本事(M) |

| --- | --- | --- | --- |

| 各凭本事(N) | M, N-M | M/2, (M-2)/2 | N-M, M |

如果我们试图找到两个对称点，使得任何一个点左边的点都会选择这个点右边的策略，右边的点都会选择左边的策略，那么这两个对称点就是一个纳什均衡。具体来说，我们需要找到一个N，使得猪B选择“各凭本事”且决定吃N份食物，会让猪A更愿意选择“各凭本事”而不是其他策略。同样地，我们需要找到一个M，使得猪A选择“各凭本事”且决定吃M份食物，会让猪B更愿意选择“各凭本事”而不是其他策略。这两个对称点就是我们要找的纳什均衡。

最后，我们来看看这个问题的一些变形。如果我们把这个问题从两只猪扩展到了N只猪，我们该如何求解它的纳什均衡呢？答案是，很难。在三只或三只以上的猪的情况下，求解这个问题的纳什均衡是一个NP难问题。此外，我们还可以考虑一些扩展问题，如何考虑两只猪的信任问题？如何考虑两只猪的先后顺序问题？如何考虑两只猪的先前交流问题？在这些扩展问题中，我们需要考虑更多的因素，以便更好地找到纳什均衡。