附加题难题突破如何利用高斯算法解决数学问题(高斯算法例题)

导语：附加题难题突破，如何利用高斯算法解决数学问题？高斯算法的妙用

在小学数学竞赛中，有好多题目会用上“高斯算法”，简单的这里就不讲了，说一些题目的条件十分隐蔽的题型。遇到这类问题，我们必须在解题之前仔细审题，全面分析它们的数量关系，尤其是要寻找出一些重要的隐蔽数据和发现某些特殊的联系。

下面我们来看几个这样的例子：

难题点拨①

解题分析：这道题目要分成“分母是34”和“分母是111”两个部分来进行计算。分母是34的分数共68个，分母是111的分数有多少个呢?就是解答这道题目的关键。

分母是111的分数个数：

难题点拨②

将边长1米的大等边三角形分割成边长为1厘米的小等边三角形(见下图)。请你算一算，分出的小等边三角形共有多少个?

解题分析：从上往下逐层地看，就能发现一些有趣的联系。而且随着观察角度的变化，这道题目的解法还有好几种。

解法一：先看尖角朝上的小三角形，它们从上往下依次是1个、2个、3个…不难想象，它们的最底两层分别为99个和100个；再看尖角朝下的小三角形，它们从第二层开始，依次有1个、2个、3个…最底两层分别有98个和99个。

累计它们的总和为：

(1+100)×100÷2+(1+99)×99÷2

＝5050+4950

＝10000(个)

解法二：把尖角朝上和尖角朝下的小三角形合起来，逐层往下看，它们依次有：1个、3个、5个、7个……也不难想象到，它们共100层(即共有100项)，最底一层共有199个小三角形(尖角朝上的100个，尖角朝下的99个)。

累计它们的和为:

(1+199)×100÷2

＝200×100÷2

＝10000(个)

解法三：

把大三角形拦腰“剪”下来，并倒着拼在右侧，这样就拼成了一个平行四边形，它一共有50层，每层里都分别有100个尖角朝上的小三角形和100个尖角朝下的小三角形，其和为：

100×2×50

＝10000(个)

观察和分析等差数列的特征，还会发现一些有趣的联系，并运用它们去巧妙地解决某些实际问题。

难题点拨③

有13个连续自然数，它们的和是182。在这些数中从小到大第六个数是多少？

解题分析：这是一道十分有趣的问题，我们根据连续自然数的“后一个数比前一个数多1”的特点，就有好多种解法。例如：

解法一：先求第一个数。

(182－1－2－3－……－12)÷13;

解法二：先求最后一个数。

(182+1+2+3+…+12)÷13;

解法三:直接求第六个数。

(182+1+2+3+4+5-1-2-3-4-5-6-7)÷13;等等。

但这些解法都是太繁琐，若这些连续自然数再多一些，列式就比较麻烦了。下面我就给同学们介绍一个简单的算法。

根据“有奇数个连续数，它们的中间数就是它们的平均数”这一特点，即可直接求出它们的第七个数(13个数的中间数)，而第六个数只比它少1。这样列式就非常简单、巧妙了：

182÷13－1=13

答：它的从小到大第六个数是13。

利用“高斯算法”来解答的数学问题确实很多，有的题目经过巧妙変化，一时难以看出其中的联系；有的题目中却只有某一部分可以用上高斯算法的公式。题目虽难，趣味更浓。

难题点拨④

计算1～100每个数各数位上的数的和是多少?

解题分析：认真观察、分析这些数的组成情况，这道题目的解法也很灵活。

解法一:分段统计。

把1～100各数分成1～9，10～19，20～29……90～99和100这样十一段。

第一段，1、2、3……8、9，其和为：(1+9)×9÷2＝45；

第二段，它们的个位上的数仍是1、2、3…8、9，另外还有十位上的10个1，其和为：45+10＝55；第三段，它们的个位上的数字和仍为45，另加十位上的10个2，其和为：45+20＝65……逐次类推，第十段每个数各数位上的数字和为：45+90＝135；第十一段只有“100”这ー个数，其数字和为1。

累计这十一段每个数各数位上数字的和为：

45+55+65+……+135+1

=(45+135)×10÷2+1

=900+1

=901

解法二：分数位统计

1～100各数的个位上分别为1、2、3…8和9(“0”可以不考虑)，而且重复出现了10次，其和为：(1+9)×9÷2×10＝450；它们十位上则分别连续出现10个1、10个2、10个3…最后出现10个9，其和为：(10+90)×9÷2＝450，也可列式为：(1+9)×9÷2×10＝450；它们的百位上只有1个1。

累计它们的总和为：

450+450+1＝901

解法三：搭配统计。

仿照高斯的计算方法，把一小一大两个数逐一搭配成许多“对”，使它们的和都为99(即不让它们的个位或十位上的数字出现“进位”，搭配如下:1和98，2和97，3和96……9和90，10和89……48和51，49和50，这样，一共搭配成了49个数对，加上原来的“99”，就相当于有了50个“99”，最后加上100里的数字1)。

累计1～100各数位上的数字和，列式为:

(9+9)×50+1

＝18×50+1

＝901

答：1～100各数位上的数字和是901。

难题点拨⑤

在一张白纸上画30条直线，它们最多能出现多少个交点?

解题分析：这也是一道有趣的问题，若真的照题目说的那样在纸上画直线，别说画30条，哪怕是画出八、九条，就足以让你头昏眼花。

怎样分析解答这道题目呢?我们可以把这30条直线想象成“30个小朋友互相握手”。如果只在纸上画出一条直线，当然不会有交点；如果再画出第二条直线，它就会与第一条直线有一个交点(最多只有一个交点，假如它与第一条直线平行，便不会产生交点)；接着画第三条直线，它就可能与前两条直线各有一个交点(最多两个交点，假如它同前某一条直线平行，就会只有一个交点了)……以此类推，继续画第四、第五条直线，只要它们不与前面的某一条直线平行、或不与ー个“交点”重合，出现的交点就最多，分别是3个交点、4个交点……

现在我们把它们的交点数(按最多的情况)整理如下：

再用“高斯算法”求它们的和，列式为:

(1+29)×29÷2＝435(个)

答：最多能出现435个交点。

难题点拨⑥

小明住在一条小胡同里。一天，他算了算这条小胡同的门牌号码。他发现，除掉他自己家的不算，其余各门牌号码之和正好是100。请问，这条小胡同一共有多少户(即有多少个门牌号码)?小明家的门牌号码是多少?

解题分析：这道题目只有一个具体数据，而且不是全部的门牌号码之和，所以不能直接利用高斯算法来推算。怎么办呢?下面介绍一种特殊的解答方法～估算法。

我们先假设这条胡同共有20户，他们的门牌号码之和为：

(1+20)×20÷2＝210。此时不管小明家的门牌号码是多少(当然只能在1～20之间)，其余的号码之和都远远大于100，可见这一次是“估”得过大了。我们再假设这条小胡同共有12户，此时的门牌号码之和为：(1+12)×12÷2＝78。十分明显，这一次又“估”值过小，因为即使不减去“小明家的门牌号码”，它们的和也够不上100。

像这样反复调整“估值”的范围，就可以知道这条胡同共有14户。他们的门牌号码之和为：(1+14)×14÷2＝105。显而易见，小明家的门牌号码是5号。

答：这条小胡同一共有14个闪牌号码；小明家的门牌号是5。

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