小升初求正方形的面积(如何用正方形的面积算出正方形的边长)

导语：从巧算正方形面积谈起

请大家看一道小升初的计算题。题目呈现：

如图所示，求正方形的面积。

很多家长看到题目后是这样的茫然失措的表情。

这道题目有小学生的解法和初中生的解法。我们首先介绍初中生的解法。

在缺乏灵感的时候，容易想到构造相似三角形的解法。连接正方形的对角线，就构造出一对直角相似三角形。

对角线把长度是5的线段分为两段，可以算出这两段的长度。用勾股定理可以算出小三角形的斜边，再按比例算出大三角形的斜边，合起来就是对角线的长度。

知道了正方形的对角线长度，用公式可以算出正方形的面积。设面积为S，对角线长度是f，有面积公式如下：

S=½f²

道理很简单，对等腰直角三角形用勾股定理可以推导出正方形含对角线的面积公式。

下面我们来具体计算，攻克这个难题。

根据直角三角形的相似判定法知道，两个直角三角形，如果有一个锐角相等，可以判定相似。

作辅助线(对角线)后，因为对顶角相等，所以判定构造出的两个直角三角形相似。

根据相似三角形对应边成比例，我们知道相似比是9：3，化简为3：1。

所以，长度是5的线段，可以算出大小两个三角形的对应长度。

比如说小学生计算方法是：

小三角形对应长度=5÷4=1.25

大三角形对应长度=5-1.25=3.75

初中生的算法可能是：

3：1=x：(5-x)

解之得

3：1=3.75：1.25

接下来用勾股定理计算小三角形的斜边：

c²=3²+1.25²

=9+（12×13×100+25）×0.0001

=10.5625

接下来需要手工开平方，请看下图：

计算过程就是猜数游戏，猜下划线应该填什么数，难度不大。

计算原理就是上图的乘法公式，请大家自行体会。

算出小三角形斜边是3.25，按比例得到大三角形斜边是3×3.25=9.75，于是得到对角线长度=3.25+9.75=13。

算到这一步的时候，有的同学可能反应过来了，5，12，13是一组勾股数，心中埋怨自己多花了时间。

顺便说一下，这是一组很特别的勾股数，它可以写成：

13²=5²+12²

还可以写成

13²=3²+4²+12²

这个等式的几何意义是告诉我们如何计算长方体（长，宽，高分别为3，4，12）的空间对角线长度。

已知正方形对角线是13，那么它的面积为：

13²÷2=169÷2=84.5

13的平方可以用乘法公式计算：

(a+b)²=4ab+(a-b)²

把a=10，b=3代入公式得

13²=120+49=169

最后，我们来看小学生的解法。

在题目图添上对角线，再把图形补充完整，使对角线成为一个长方形的对角线。

初中生可以判定，因为5厘米同时垂直于9厘米和3厘米，所以9厘米平行于3厘米。

于是对长方形中的直角三角形用勾股定理求斜边(对角线)，得到c²=5²+12²，求出对角线也就得到答案了。

这个解法简单明快，是最佳答案没有之一。

不过，得到这个解法的小学生也很牛，知道勾股定理，看来也是博览群书，厉害。

总结：相似三角形是欧几里得几何的重要解题工具。在本题中，在思路受限，没有想到最佳答案时，用初中生的解法，虽然费劲，好歹避免了交白卷。

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