高中数学空间几何体的结构(空间几何体典型例题)

导语：高考数学复习突破策略，空间几何体的结构及其表面积、体积

【考试要求】

1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；

2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题；3.能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图.

【知识梳理】

1.空间几何体的结构特征

(1)多面体的结构特征

2.直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.

3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

【考点聚焦】

考点一　空间几何体的结构特征

【规律方法】　1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例.

2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.

3.既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.

考点二　空间几何体的直观图

【规律方法】

1.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握.

2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系S直观图＝S原图形.

考点三　空间几何体的表面积

【规律方法】　1.求解有关多面体侧面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱中的矩形、棱台中的直角梯形、棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素间的桥梁，从而架起求侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素间的联系.

2.多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.

3.旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.

考点四　空间几何体的体积

【规律方法】　1.(直接法)规则几何体：对于规则几何体，直接利用公式计算即可.

2.(割补法)不规则几何体：当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算.经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体还原为锥体.

3.(等积法)三棱锥：利用三棱锥的“等积性”可以把任一个面作为三棱锥的底面.(1)求体积时，可选择“容易计算”的方式来计算；(2)利用“等积性”可求“点到面的距离”，关键是在面中选取三个点，与已知点构成三棱锥.

【规律方法】1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.

2.若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.

【反思与感悟】

1.几何体的截面及作用

(1)常见的几种截面：①过棱柱、棱锥、棱台的两条相对侧棱的截面；②平行于底面的截面；③旋转体中的轴截面；④球的截面.

(2)作用：利用截面研究几何体，贯彻了空间问题平面化的思想，截面可以把几何体的性质、画法及证明、计算融为一体.

2.棱台和圆台是分别用平行于棱锥和圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得到的，所以在解决棱台和圆台的相关问题时，常“还台为锥”，体现了转化的数学思想.

3.转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.

【易错防范】

1.求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错.

2.底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错.

【核心素养提升】

【直观想象与逻辑推理】——简单几何体的外接球与内切球问题

1.直观想象主要表现为利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物，解决与球有关的问题对该素养有较高的要求.

2.简单几何体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径长或确定球心O的位置问题，其中球心的确定是关键.

一、知识要点

1.外接球的问题

(1)必备知识：

①简单多面体外接球的球心的结论.

结论1：正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点.

结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点.

结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点.

②构造正方体或长方体确定球心.

③利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心.

(2)方法技巧：几何体补成正方体或长方体.

2.内切球问题

(1)必备知识：

①内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.

②正多面体的内切球和外接球的球心重合.

③正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.

(2)方法技巧：体积分割是求内切球半径的通用做法.

二、突破策略

1.利用长方体的体对角线探索外接球半径

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