比较定积分的大小的方法(定积分比较判别法)

导语：「高等数学」比较定积分的大小，常用方法是比较被积函数的大小

定积分：积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

与不定积分的区别：定积分是一个确定的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们两者仅仅只存在牛顿-莱布尼兹公式的数学关系，其它什么关系都没有，要特别注意！

正如定积分的概念所说，x的范围是在区间[a,b]上，然后求一个极限，我们今天要做的事比较定积分的大小。

图一

如图所示，已知三个关于定积分的式子，比较一下这三个定积分的大小，当我们拿到比较大小的时候，最好能够将三个式子和一个共同的式子比较大小，或者将其中的一个式子解出来，让那个另外两个式子和该式子比较大小，也就是比较被积函数的大小，最后得出结果。

M、N、K三个式子的区间都在[-2/π,2/π]之间。

我们先来看M，对于M这个式子而言，共有的是1+x^2，因此我们将分子化开，将公共部分约调，根据1的反函数是x，2x/(1+x^2)的反函数是ln(1+x^2)最后得到M的结果为π，所以可以得到M即为求函数1在[-2/π,2/π]的极限和。

再来看N，由于1+x<e^x,可以得到该式子的极限和小于1，说明N<M。

最后来看K，由于1+根号cosx>1，可以得到该式子的极限和大于1，说明K>M。

得到：K>M>N。

给出解决步骤：

图二

总结：同一区间上定积分大小比较最常用的思想就是比较被积函数的大小。

注意点：同一区间、被积函数的大小。

再给出一道例题：

图三

对于这道例题而言，就更加简单了，lnx是已知在正区间上是单调递增的，那么比较一下sinx、cotx和cosx的大小，可以知道在[0,π/4]区间上0<sinx<cosx<1<cotx，即可得到I<K<J。

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