拓扑结构和数学模型(拓扑优化数学模型)

导语：数学模型方法——拓扑

整体和局部也是一对哲学范畴，全局由各个局部组成，但并非各个局部的简单总和，它高于局部。局部是整体的一部分，但有时局部会影响整体，甚至起主要的决定性作用。

图一 整体和局部的关系

初等数学主要考察整体的几何形式和数量关系。当然，在观察整体时也会特别关注一些重要的局部，如三角形的三个顶点是关键部位，圆的圆心特别重要，二次函数y=ax^2+bx+c的极大(小)值点特别重要等等。但是，在微积分学诞生之前，人们缺少分析局部数量变化的工具。局部研究不能深入，整体性质也就了解不多，例如，切线问题在初等数学里就难以弄清楚。

微积分学提供了分析局部的手段，数学上的局部是指一点的邻域：U(x0，δ)=(x0-δ, x0+δ)，这个δ可以是任何正实数。所谓局部性质就是在一点的邻域内的性质，例如f(x)在x0的连续性、可导性都只涉及该点邻域内函数的变化状况，与整体如何并无直接关系。

另一方面，函数的整体性质也可以用一个固定的区间[a, b]上的形态来描述，这时a、b都是定数，不管a和b如何接近，只要a≠b，它就是一个整体，这和邻域中的δ可以灵活变动不同。例如f(x)在[a, b]上单调上升、有界、非负等都是整体性质。

微积分学研究局部性质的目的是弄清整体性质。大家知道微积分中的基本定理之一是拉格朗日（J· L· Lagrange）中值定理。它是说f(x)在[a，b]的每一点都连续，在(a，b)的每一点都可导，那么

f(x2)-f(x1)=f’(ξ)(x2-x1)，其中a≤x1<ξ<x2≤b.

这一定理是由局部性质过渡到整体性质的桥梁。因为定理的条件只是叙述了局部性质，而结论却是整体性质。由此定理出发，可从f’(x)>0得出f(x)单调上升；f’(x)<0得出f(x)单调下降等都是整体性质。

几何学中的整体性质十分令人注目。例如，欧拉（L·Euler）的多面体定理是说，凸多面体的面数F、棱数E和顶点数V之间有下述关系：

F+V-E=2.

图二 欧拉多面体定理

欧拉定理说的是凸多面体的整体结构性质，与该多面体的大小、形状没有关系。几何拓扑学正是研究这种整体性质的数学。在拓扑同胚的意义上，一个圆和一个正方形是没有区别的。它们都把平面分成两个连通部分，我们通过一个“一一对应的到上的双方连续变换”可将圆变为正方形，反之亦然，这种变换就是拓扑变换。

但是，研究整体性质的几何拓扑学并不能够脱离局部性质，上面说到的拓扑变换定义中就有双方连续的提法，而连续正是局部性质。大家知道，连续依赖于极限定义，而极限可用邻域描述，由于数学对象的扩展，邻域可以是区间，平面上的圆，空间中的球，曲面上的一小块，甚至无穷维空间上的一个特定的子集。点集拓扑学正是处理最一般空间中的局部性质与整体性质的学问。它的任务是研究点集的特性，按某种特征将点集分类。例如[a, b]与(a, b)不同，[a, b]是闭集，又是紧集，在紧集上能成立收敛子列定理，而开区间则不行。

拓扑学的精华在几何拓扑学，即运用代数方法描述各种曲面的整体特性，至于点集拓扑学似乎已经成熟。

本文内容由小信整理编辑！