二次函数应用题自变量取值范围怎么求(二次函数实际问题自变量的取值范围)

导语：九年级数学，与自变量有关的二次函数最值问题，图像法解题更清晰

在我们印象里，二次函数有不少最值的专题，比如二次函数与面积最值问题、二次函数实际问题最值问题等等。而本节主要介绍的为二次函数本身的最值问题，只有熟练掌握二次函数本身最值问题，才能更好地解决其它类型的最值问题。

与二次函数的最值问题相关的因素有两个：（1）函数表达式；（2）自变量的取值范围，一般需要分以下几种情况：（1）解析式已知、不限定自变量取值范围；（2）解析式已知，限定自变量的取值范围；（3）解析式未知，限定自变量的取值范围；（4）解析式已知，改变自变量的取值范围等等情况。

类型一：没有限定自变量的取值范围

函数解析式已知，又没有限定自变量的取值范围，那么当开口向上时，二次函数在对称轴处取得最小值；当开口向下时，二次函数在对称轴处取得最大值。因此，需要会求解对称轴和顶点坐标公式。

分析：先根据一次函数的性质得到a+1＞0且a＜0，则-1＜a＜0，二次项系数小于0，开口向下，自变量取值没有限制，那么在对称轴处取得最大值，可用公式法、配方法等方法求得最值。

这种类型的题目是最基础的，千万不要出现计算上的失误。

类型二：函数定、区间定求最值

函数解析式已知，自变量的取值范围也已知，那么在求函数最值时，要看对称轴在不在取值范围内。如果对称轴在所给区间范围内，那么还是在对称轴处取得最值；如果对称轴不在所给区间范围内，那么在所给区间内应该单调增或单调减，应该在区间端点处取得最值。

分析：利用配方法得到y=（x-1）2，当0≤x≤3时，利用二次函数的性质得到x=1，y有最小值0；x=3，y有最大值，把x=3代入解析式可得到y的最大值

在求最值时，也可以看所给区间与对称轴的距离远近。开口向上的二次函数，离对称轴越近，函数值越小；开口向下的二次函数，离对称轴越近，函数值越大。

类型三：函数定，区间变求最值

函数确定，但是所给区间（自变量的取值范围）变化时，需要分情况讨论。

分析：利用配方法可找出：当x=2时，y取得最小值，最小值为-1；代入y=3可求出x=0或4，再结合“当0≤x≤m时，y的最小值为-1，最大值为3”，即可找出m的取值范围．

本题考查了二次函数的最值以及二次函数图像上点的坐标特征，利用二次函数的最值及二次函数图像上点的坐标特征，找出2≤m≤4是解题的关键。也可以利用图像法，画出二次函数的草图，可以更加直观的得到结论，常见的如下图所示：

类型四：函数变，区间定求最值

函数定时，画出函数图像；区间定时，将区间画出，对称轴随之发生变化。

分析：由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x＞h时，y随x的增大而增大、当x＜h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．

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