平行四边形分类讨论方法(平行四边形重要结论)

导语：平行四边形，分类讨论、整体、对称思想，提分必备

学习平行四边形的过程中，可以发现这一章包含了不少思想方法，比如上一篇文章中所举的转化思想。除了转化思想以外，还有一些其它的思想方法在平行四边形中也很常见。若在具体求解有关平行四边形的问题时能灵活运用这些思想方法，就会使问题避繁就简。想要在平行四边形中拿到高分，这些数学思想方法需要掌握。

分类讨论思想

例题1：在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于点E，若点E分BC为3和4两部分，则平行四边形ABCD的周长为（　　）

A.20 B.22 C .20和22 D.20或22

分析：根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE，再根据平行四边形的对边互相平行可得AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等求出∠DAE=∠AEB，从而得到∠BAE=∠AEB，再根据等角对等边的性质求出AB=AE，然后分BE=4cm和BE=6cm两种情况讨论求解．

解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，

∵ABCD的边AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，

①当BE=4cm时，AB=4cm，BC=4+6=10cm，ABCD的周长=2（AB+BC）=2（4+10）=28cm，

②当BE=6cm时，AB=6cm，BC=6+4=10cm，ABCD的周长=2（AB+BC）=2（6+10）=32cm，

所以，ABCD的周长为28cm或32cm．

整体思想

例题2：如图，在△MBN中，BM＝6，点A，C，D分别在MB，BN，NM上，四边形ABCD为平行四边形，∠NDC＝∠MDA，ABCD的周长是（　　）

A.24　　　B.18　　　C.16　　　D.12

分析：要求平行四边形ABCD的周长，若能求出AB+AD，即可从整体上求解。首先根据平行四边形的性质可得AB∥DC，AD∥BN，根据平行线的性质可得∠N=∠ADM，∠M=∠NDC，再由∠NDC=∠MDA，可得∠N=∠NDC，∠M=∠MDA，∠M=∠N，根据等角对等边可得CN=DC，AD=MA，NB=MB，进而得到答案。

解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD=BC，DC=AB，AB∥DC，AD∥BN，∴∠N=∠ADM，∠M=∠NDC，

∵∠NDC=∠MDA，

∴∠N=∠NDC，∠M=∠MDA，∠M=∠N，∴CN=DC，AD=MA，NB=MB，

∴平行四边形ABCD的周长是 BM+BN=6+6=12，

对称思想

例题3：有位财主临终前将一块平行四边形的田地分给两个儿子，如图①，O为田中一口井，他决定把相对的两块三角形的田地（△AOB、△COD）给大儿子，剩下的全部给小儿子，这口井两家何用．遗嘱公布之后，亲友们议论纷纷，有的说这样太不公平．聪明的同学，你认为这样公平吗？如图②，你能否找到一个简捷方法，将这块地分成两块，两个儿子分得的地一样大，而且公用这口井？

分析：可以考虑利用平行四边形的性质（平行四边形的对角线互相平分）来解题，找到两条对角线的交点，则交点和水井所在的直线将田地分成面积相等的两块。

四边形中常见的三种思想方法，你掌握了吗?

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