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求等边三角形的边长(求等边三角形边长公式是什么)

导语:中考真题:求等边三角形边长整数解

如图,在边长为的正六边形ABCDEF中,连接BE,CF,其中点M,N分别为BE和CF上的动点。若以M,N,D为顶点的三角形上等边三角形,且边长为整数,求该等边三角形的边长

这是一题江西省中考的真题,主要考察图形动点变化的分析能力,需要分类讨论解决。

解法如下:

连接FD交BE于G,连接BD交CF于H,设CF与BE相交于O点。

ABCDEF为正六边形,易知FDBE,且G为OE中点,同理BDCF,且H为OC中点。

由边长为,以及OED为等边三角形,可以计算出DG=9,DF=18,同理DH=9,DB=18。

可知M在BE上运动,M点与G点重合时,MD的距离最短,MD=9,M点与B点重合时,MD距离最大,MD=18。同理ND也同样成立

以下分类讨论M点的运动情况:

(1) M点在G点上,易证为GHD为等边三角形,此时N点在H点,满足等边三角形且边长为9,得到一组解,边长为9

(2) M点从G运动到O点的情况,与从G运动到E点的情况一致,合并讨论

注意,此时M点到D点的距离满足 9=DG<MD<=OD<11

只有一个可能性的解,MD=10,以下我们来找到这个点。如下图,取NH=MG,易证DGMDHN,所以GDM=HDN,MD=ND得到MDN=GDH=60度,因此MDN为等边三角形,令MD=10,可知MG=时成立,得到一组解,边长为10

(3) M点在O点与B点之间运动

注意,此时M点到D点的距离满足OD<MD<OB=18

因此,若要MD=ND,N点只能在OF上,易知此MDN不可能为等边三角形

(4) M点在B点上,易证MDN为等边三角形,此时N点在F点,满足等边三角形且边长为18,得到一组解,边长为18

综上,有3组解,分别为9、10、18,解毕

小结:通过图形对称性的分析,分析动点移动的情况,并分类讨论得到整数解的各种情况。题目难度整体不算太高,但是很容易漏掉解,整个过程可以细细品味。

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