方向导数取得大值的条件(方向导数变化快)

导语：「高等数学」将方向导数问题化成条件最值问题，构造拉格朗日函数

构造拉格朗日函数的定理我们在前几章中有提到过，不过当时是提到了求最小面积之和的最小值，那么今天我们来看看最大方向导数的问题，如何用构造拉格朗日函数的方法来解决呢。

首先，我们先对方向导数有一个概念：导数不用说，就是求导，那么加了方向两个字，从字面意思上理解，就是对某方向求导数，而且是要在函数的定义域内的。

一般我们说函数在一点处沿梯度方向的方向导数最大，进而就转化成条件最值问题，也就可以用构造拉格朗日函数的方法来解决这类问题。

话不多说，给出一道例题，能够帮助大家更好的理解。

如图所示：

图一

1、分析题目

我们要求的是f(x,y)在曲线C上的最大方向导数，注意，这说明函数f(x,y)和曲线C是有共同的点的，曲线C也正能说明x和y之间的联系，这是最重要的一点。

我们先可以得到在点(x,y)处函数f(x,y)的最大方向导数，这里要用到一个概念，也就是方向导数的定义，该函数在该点处对x求偏导的平方加上该函数在该点处对y求偏导的平方的和开根号。

2、构造拉格朗日函数

这里依然是用到拉格朗日乘数法，设给定二元函数z=f(x,y)和附加条件，正如曲线C就是附加条件一样，然后我们是将这道题转换成条件最值问题来做的，便可以构造拉格朗日函数。

3、答案解析

图二

如图所示，我们正是用分析中提到的思路，将方向导数问题转化成条件最值问题，通过构造拉格朗日函数来解决这道题目，就会发现很迅速。

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