一阶逻辑是什么(一阶逻辑的基本概念)

导语：一阶逻辑简介

话题：

小石头/编

（由于，在科普数学过程中，会经常用到 一阶谓词逻辑语言，所以 写一篇文章，对其进行简单的介绍。这里的目标是，数学中够用，所有并不会涉及《模型论》和《证明论》部分。）

我们在日常生活中经常需要做判断，例如：

老张是狐狸公司的CEO。⑴

称这些判断句为命题。

命题常常会被验证，逻辑学要求，验证有明确的结果，即：

要么命题是真实的，要么命题是虚假的；☆

命题的验证结果 被称为 命题的 逻辑值，显然，真（记为 T） 和 假（记为 F）是唯二的逻辑值。值为真的命题 称为 真命题，值为假的命题 称为 假命题。

注：☆ 含有两层意思，

排中律：命题值 只能 是 T 或 F；

矛盾律：命题值 不能 同时是 T 或 F；

有一些命题会包含其它命题，例如：

命题，

老张有钱并且会物理。⑵

就包括两个命题，

老张有钱；⑶老张会物理。⑷

我们称这类命题为 复合命题，而不是复合命题的命题则被称为 原子命题，如前面上面的 ⑴，⑶ 和 ⑷ 都是原子命题。

复合命题都是通过 联词 将其所包含的命题关联起来而构成的，例如，⑵ 是通过 “...并且...” 连接⑶和⑷而而成。自然语言中，有多个联词表示同一个关联关系，例如，⑵ 还可以写成：

老张既有钱又会物理。⑵‘

联词 ”既 ...又...“ 和 “...并且...” 都是并列关系，功能相同。为了表述的一致，我们用 逻辑符号 ∧ （称为和取） 来表示 “...与...”、 ”既 ...又...“ 、“...并且...” 等。若再令 ,

A = ⑶ , B = ⑷

则 复合命题 ⑵ 和 ⑵‘ 可统一写成：

A ∧ B

这样我们就得到了逻辑语言的一个公式。除了析取外，日常交流中常用的联词还有很多，我们也对它们接引入逻辑符号来表示：

析取 ∨，表示 “或”、”或者“、”要么...，要么..“ 等；否定 ¬，表示 “非” 、&39;

则显然有，

P(老张) = A，P(老马) = B

称 这样的 P(x) 为谓词。谓词 也可以是多元的，例如，对 ⑴ 引入参数，得到谓词：

Q(x, y) = x是y的CEO

就是一个二元 谓词。从元数来看，位引入参数化的原子命题，例如上面的 A、B，可以认为是 零元谓词。

注：一元谓词P(x) 参数两边的 括号 可以省略不写，记为 Px。

量词也在日常交流中常常被用到，例如：

所有人都会回死；⑸总有人是天才； ⑹

我们 用 ∀（称为 全称量词） 表示 ”所有...“、”任何...“、”任意...“ 等， 用 ∃（称为 存在量词） 表示 ”有...“、”总有...“、”存在...“ 等。

注：∀ 为 Any 的首字母 A 上下颠倒得到，∃ 为 Exist 的首字母 E 左右翻转得到。

于是令，

P(x) = x 是人，A(x) = x 会死，B(x)=x是天才

则 ⑸ 和 ⑹ 分别表示为：

∀x(P(x)∧A(x)) ⑸&39;

注：在数学中，∀x(P(x)∧A(x)) 也被写成 ∀x, P(x)∧A(x) ，这样可以省一层 括号，看着清爽。

最后，复合命题可能有多层嵌套，例如：

并非所有人都是天才

这时改写成 逻辑语言 时，需要使用 括号 进行分层，例如：

¬(∀x(P(x)∧B(x)))

至此，我们就得到了全部的 谓词逻辑 语言。

回头，再比较 ⑶ 和 ⑷，我们发现 它们的 主语 都是 老张，于是课将谓语参数化，得打：

老张 P

这样 谓词 P 就成了 变元。 这种情况，日常交流也经常遇到，例如：

老张有的，老马也有。

写成 逻辑公式就是：

∀P(P(老张) → P(老马))

这种将 谓词作为 变元的，称为 高阶逻辑，而 不将 谓词作为 变元的，就是本篇介绍的 一阶逻辑，也是被数学所使用的逻辑。

站在 数学的角度，联词 就是 集合 {T, F} 上的 逻辑运算，由于逻辑运算的操作数只有 T 和 F 两个，于是我们可以将 全运算 情况 罗列出来，得到如下的 真值表：

从真值表中可以看出，¬ 是一元运算，其它的都是 二元运算。逻辑运算可以是任意有限元的，特别是 零元运算，定义为：

恒真 ⊤ = T；恒假⊥= F；

注：有些书 会用 ⊤ 和 ⊥ 分别去记 真 和 假。

虽然，逻辑运算多种多样，但是它们可以 通过 有限 个 联词 的 组合来实现，能够实现所有逻辑运算 的 联词集，被称为 功能完全集。可以证明：

联词集 {¬, ∨, ∧, →, ↔} 是 功能完全的

这也是，为什么自然语言 仅凭借 它们，就可以表达所有 逻辑，的 原因。

观察，上面真值表 中 的 p, q 与 p → q 之间的逻辑关系，我们发现：

当 p=T 并且 q=F 时 p → q 为 F；其它情况p → q都是 T；

于是有：

¬(p → q) = p∧¬q ①

进而得到：

p → q = ¬(¬(p → q)) = ¬(p∧¬q)

这种方法 称为 写假法。再观察，还发现：

当 p=T 并且 q=T 时 p → q 为 T；当 p=F 时 p → q 为 T；其它情况 p → q 都是 F；

于是可得到：

p → q = (p∧q)∨¬p

这种方法 称为 写真法。

对于任意逻辑运算，我都可以通过，写假法 或 写真法，用{¬, ∨, ∧}去实现它，例如：

p↔q = ¬((¬p∧q)∨(p∧¬q)) 或 (¬p∧¬q)∨(p∧q)

故， {¬, ∨, ∧} 是功能完全集。

对于 p∨q 和 p∧q 使用写假法，可分别得到：

¬(p∨q) = ¬p∧¬q

¬(p∧q) = ¬p∨¬q

这就是 德摩根定律，进而分别有，

p∨q=¬ (¬p∧¬q)

p∧q = ¬(¬p∨¬q)

这说明，{¬, ∨} 和 {¬, ∧} 也都是功能完全集。另外，由 ① 式，有，

¬(p → ¬q) = p∧¬(¬q) = p∧q

所以，{¬, →} 也是功能完全集。

那么，有没有一个联词的功能完全集呢？有！我们定义：

皮尔士箭头： p↓q = ¬(p∨q)谢弗竖： p|q = ¬(p∧q)

则分别有，

p∨q = ¬¬(p∨q) = ¬( p↓q) ， ¬p = ¬(p∨p) = p↓p；

p∧q = ¬¬(p∧q) = ¬(p|q)， ¬p = ¬(p∧p) = p|p；

所以，{↓} 和 {|} 都是功能完全集，也是最小的功能完全集。

在数学上，将 F 和 T 分别看做 0 和 1，这样以来算术运算也就成了逻辑运算，例如：

p⋅q = p∧q

最后，结合数学运算，将 一元 和 二元 的所有逻辑运算汇总如下：

一元逻辑运算：

二元逻辑运算：

（好了，就写到这里了，以后想到了再补充！本篇力求简单，尽量不耗费各位的时间，希望大家有机会看到，希望看到的能喜欢！）

补充1：

大家看到 蕴含 p→q 的真值表：

F → T = T，F → F = T

可能会差异。诚然，这和我们日常言语中的感觉不同，实际上，自然语言中的，“如果 p 那么 q” 含有 逻辑推理的 意思，其相当于：

{p, p→q} ⇒ q

这与 p→q 的语义 并不相同。

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