如何化简双重二次根式(双重根式如何化简)

导语：举一反三系列12——公式化化简双重二次根式

如果形如√(m±√n)二次根式能够进行化简，则化简结果的形式一般是√a±√b，则有

√(m±√n)= √a±√b，

两边平方，得

m±√n=a+b± 2√(ab)，

比较两边有理数和无理数，得

a+b=m，ab=n/4，

所以a，b是方程x^2-mx+n/4=0的两根，

解得a，b=[m±√(m^2-n)]/2，

因此，可得双重二次根式的化简公式为：

√(m±√n)= √a±√b，

其中a=[m+√(m^2-n)]/2，b= a，b=[m-√(m^2-n)]/2。

例 化简: √(33-20√2).

解析：可以先把二次根式化为√(33-√800)，

这里m=33，n=800，m^2-n=1089-800=289，然后直接代入公式，得：

a=(33+√289)/2=(33+17)/2=25，

b=(33-√289)/2=(33-17)/2=8，

所以原式= √a-√b

=√25-√8

=5-2√2.

如果忘记了公式，则可以按照公式推导过程进行化简：

设√(33-20√2)= √a-√b.

两边平方，得

33-20√2=a+b-2√ab，

所以a+b=33，ab=200，

由韦达定理逆定理，得a、b是方程x^2-33x+200=0的根，

(x-25)(x-8)=0，

所以a=25，b=8，

所以原式=√25-√8

=5-2√2.

练习：化简下列各题：

（1）√(14-√180).

答案：3-√5.

（2）√(33-20√3).

答案：2√3-√5.

（3）√(34-24√2).

答案：3√2-4.

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