圆的综合计算与证明(中考数学圆的经典证明题及答案)

导语：中考数学：圆的综合证明解题思路分析，教你圆综拿满分

圆的综合是中考数学必考题，一般在第24或25题，分值5分

圆综一般有两小题

Ⅰ.第一小题占2分，一般需要证明切线或角的关系和线段关系

一般需要导角证明，求证相切的关系其实是导90°角，求证平行关系其实也是通过导角的关系来判定平行，这类问题通常都要用到圆的常见辅助线来解决；

Ⅱ.第二小题占3分，一般考查求线段的长度

主要应用圆的基本性质，同时结合相似、勾股定理以及锐角三角函数等知识。这一问是考生容易丢分的，是此题的难点，需要掌握核心方法和技巧。

解决圆综问题常用到的定理：

（1）弧、弦、圆心角定理

弧、弦、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

推论1：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．

推论2：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．

（2）圆周角定理

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

（3）垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

（4）切线定理

切线的判定定理：经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

（5）切线长定理

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

（6）圆的内接四边形：

圆内接四边形性质：圆内接四边形对角互补．

推论：圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角。

要想熟练解决几何问题，一定要形成一种做辅助线和解题的条件反射，看到题中的某个条件、某个图形或是某种问法脑海中就会即刻呈现出可能的辅助线。所以必须要对所学过的公理及推论熟练掌握，熟练到什么程度呢？看到这些已知信息，便能以点带面把与他相关的所有隐含条件都挖掘出来。

（1）见到条件给出圆周角或者圆心角的度数或等量关系→找同弧或等弧所对的其他圆周角或者圆心角。

（2）见到直径→找直径所对的圆周角

（3）见到切线尤其是要证明相切关系→连过切点的半径，证明垂直

（4）若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出结果。

（5）圆心是直径的中点，考虑中位线

（6）同圆的半径相同，连接两条半径，考虑等腰三角形的性质，圆内的等腰三角形，计算线段长，考虑垂径定理

（7）角平分线，平行，等腰→知二得一

还有很多要形成条件反射的内容，例如出现平行线要怎么办等等，平时要多注意积累

像这些需要形成条件反射的辅助线，我们称之为必连线，即使题中可能用不到，在做题过程中也要先连起来。

圆综的解题步骤：

第一问一般需要证明切线或角的关系和线段关系

它们有一个共同的特点：通过导角来证明。

正切线→导直角；证角的关系等→导角；证线段相等→一般导等腰（有时需要全等）；证线段平行→导角。

第二问一般需要求边，一种是求边的比例，另一种是求边的长度

※求边的比例大多数情况会用相似三角形来解决

※求边的长度则分3个步骤：

（1）把所求的边放到直角三角形中，利用勾股定理或者三角函数解决

（2）把所求的边放到合适的三角形中，利用相似三角形来解决

利用勾股定理，相似三角形或者锐角三角函数时，通常需要设未知数，然后列方程求解

（3）若发现（1）和（2）行不通，则可以考虑等量代换或者求线段的和差，再回到（1）或（2）解决

圆中有非常多的直角三角形，所以相似一般是直角三角形的相似，包括：平行相似，错位相似，射影相似，共角相似，八字相似等

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