矩阵两行成比例为零吗

矩阵是现代数学中的一个重要概念，是线性代数的基础。矩阵中经常会用到行向量和列向量的概念。在矩阵运算中，经常会出现矩阵的行向量成比例的情况。那么，矩阵两行成比例是否一定为零呢？本文将从多个角度分析这个问题。

矩阵两行成比例为零吗

从定义出发

矩阵是由数域上的m行n列的数所组成的一个矩形数组。一个矩阵可以用以下方式表示：

$$ A_{m \times n}=

\begin{bmatrix}

a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\

a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}

\end{bmatrix} $$

其中，$a_{ij}$表示矩阵中第i行第j列的元素。如果矩阵某两行成比例，那么可以表示成以下形式：

$$\begin{bmatrix}

r_1a_{11} & r_1a_{12} & \dots & r_1a_{1n} \\

r_1a_{21} & r_1a_{22} & \dots & r_1a_{2n} \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

r_1a_{n1} & r_1a_{n2} & \dots & r_1a_{nn}

\end{bmatrix} =

\begin{bmatrix}

r_2a_{11} & r_2a_{12} & \dots & r_2a_{1n} \\

r_2a_{21} & r_2a_{22} & \dots & r_2a_{2n} \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

r_2a_{n1} & r_2a_{n2} & \dots & r_2a_{nn}

\end{bmatrix} $$

其中，$r_1$和$r_2$为实数且$r_1\neq 0$或$r_2\neq 0$。

如果两行成比例，那么必定有$r_1=r_2$。因此，可以得出矩阵两行成比例时，这两行的相应元素的比值相等，即$a_{i1}/a_{j1}=a_{i2}/a_{j2}=...=a_{in}/a_{jn}$。如果这个比值为零，则两行不成比例。

从行列式出发

矩阵行列式是矩阵的一个重要特征，它是一个标量，通常用$det(A)$表示。如果一个矩阵的行向量成比例，那么这个矩阵的行列式为零。

可以用行列式的定义来证明这个结论。设$A$中有两行$a_i$和$a_j$成比例，它们的比值为$r$，则有：

$$a_i=ra_j$$

将$a_i$代入$A$的行列式中，得：

$$det(A)=\sum_{\sigma \in S_n} sign(\sigma)\prod_{i=1}^n a_{i \sigma_i}$$

其中，$S_n$表示对$n$个元素的排列，$sign(\sigma)$表示排列$\sigma$的符号。由于$a_i=ra_j$，因此$a_{i \sigma_i}=ra_{j \sigma_i}$。将其代入上式，得：

$$\begin{aligned} det(A)&=\sum_{\sigma \in S_n} sign(\sigma)\prod_{i=1}^n a_{i \sigma_i}\\

&=\sum_{\sigma \in S_n} sign(\sigma)\prod_{i=1,i \neq i,j}^n a_{i \sigma_i} \cdot a_{i \sigma_j} \cdot r\\

&=r\sum_{\sigma \in S_n} sign(\sigma)\prod_{i=1,i \neq i,j}^n a_{i \sigma_i} \cdot a_{j \sigma_j}

\end{aligned}$$

因为$a_i$和$a_j$成比例，所以$det(A)$为零。

从矩阵变换出发

矩阵变换是矩阵的一个重要应用，其中包括线性变换、仿射变换等。如果矩阵的两行成比例，则矩阵变换不会改变这两行所在的平面的面积，因而称之为奇异矩阵。

可以用矩阵变换来证明这个结论。设矩阵$A$中有两行$a_i$和$a_j$成比例，它们的比值为$r$，则有：

$$a_i=ra_j$$

将$a_i$代入矩阵变换中，得：

$$A \begin{bmatrix} x\\y\\ \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix}

a_{11} & a_{12} \\

a_{21} & a_{22} \\

\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\r y\\ \end{bmatrix}=

\begin{bmatrix}

a_{11}x+a_{12}r y\\

a_{21}x+a_{22}r y\\

\end{bmatrix}$$

由于$a_i$和$a_j$成比例，所以在平面上，$a_i$和$a_j$所在的直线是重合的。也就是说，矩阵变换不会改变这条直线上的点的位置和方向。因此，矩阵变换不会改变这条直线所在平面的面积，也就是说，矩阵变换后的矩阵的行列式为零。而矩阵的行列式可以看作是矩阵变换后，变换前单位面积的变化率。因此，矩阵变换不会改变这两行所在的平面的面积，即它是奇异矩阵。

综上所述，矩阵两行成比例不一定为零。只有在这两行对应元素的比值为零时，它们才不成比例。如果矩阵的两行成比例，那么矩阵的行列式为零，称之为奇异矩阵。