容斥问题计算公式(数学容斥问题公式)

导语：笔记-数学运算常考题型-容斥问题

容斥原理专门用于处理有“重叠”的计数问题，他的核心就是剔除重叠。解这类题目需要掌握容斥原理的核心考点，学会画文氏图，准确计算。

1.两集合容斥

所谓集合，就是具有某种相同属性的元素构成的整体，如把喜欢踢足球的人归为一个集合，可以表述为“喜欢踢足球的人”。每一个集合，可以画一个圆圈来表示，这就是“文氏图”。

两个集合的容斥原理内容如下图所示：

A∪B,读作“A并B”,表示或者属于A或者属于B的所有元素组成的集合。

A∩B，读作“A交B”,表示A与B共同的元素组成的集合。

2.三集合容斥三集合的容斥原理内容如下图所示:

从上图可直观看出，总数被分成了七块，三块空白的“只属于其中某一个集合”、中间黑色的“属于三个集合”、三块灰色的“只属于其中某两个集合”。

于是又可以得到以下两个常用结论：

总数＝只属于其中一个集合+只属于其中两个集合的+属于三个集合的

总数＝三个集合之和-只属于其中两个集合的-2x属于三个集合的

3.多集合容斥极值求N个集合公共部分的最小值时，可利用如下公式求解：

A∩B数量的最小值＝A+B-I

A∩B∩C数量的最小值＝A+B+C-2I

A∩B∩C∩D数量的最小值＝A+B+C+D-3I

注：I表示全体集合，多个集合的最小值可以此类推，依照上面公式进行计算。

在解决容斥问题时，往往需要通过画文氏图来梳理各集合间的关系，画文氏图时可直接将各数据标注到相应区域中。

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