用垂径定理解决船过桥洞问题(船垂直过河的条件)

导语：垂径定理实际应用之轮船过桥问题，掌握方法是关键

垂径定理实际应用中，有一类问题，很多同学初学时觉得比较难，那就是轮船过桥问题，其实掌握解题方法后，可以发现，这类问题其实难度不大。轮船过桥问题的剖面图可转化为弓形图，圆中弦与其所对的弧组成的图形为弓形。解决弓形问题。首先找出弓形所在圆的圆心，然后根据垂径定理得到的直角三角形，利用勾股定理求出圆的半径。然后再通过垂径定理，求出临界状态时的高度，与船的高度比较大小。如果临界高度大于船高，轮船可以安全通过；如果临界高度小于等于船高，轮船则不能安全通过。

例题1：如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．（1）求拱桥的半径；（2）有一艘宽5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.6m，求此货船是否能顺利通过拱桥？

分析：第一步找到圆心，AB是圆中的弦，圆心在线段AB的垂直平分线上，连接OA，构造直角三角形，通过勾股定理求出半径。连接ON，OB，通过垂径定理求出临界状态高度，与3.6比较大小。

此题考查了垂径定理的应用，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用。

例题2：如图是一座跨河拱桥，桥拱是圆弧形，跨度AB为16米，拱高CD为4米．（1）求桥拱的半径R．（2）若大雨过后，桥下水面上升到EF的位置，且EF的宽度为12米，求拱顶C到水面EF的高度．

分析：求圆的半径，与例题1的方法类似。本题的第二问与例题不一样，可以直接利用垂径定理求解。

解：（1）如图，设圆心为O．连接OA，OE．

在Rt△AOD中，∵AO^2=OD^2+AD^2，

∴R^2=64+（R-4）^2，解得R=10；

（2）在Rt△OEM中，∵OE^2=EM^2+OM^2，

∴100=36+OM^2，解得OM=8，

∴CM=8-6=2，即拱顶C 到水面EF的高度是2米．

例题3：如图，某地有一座圆弧形拱桥，现在桥下的水面宽度AB=24m，拱顶到水面的距离CD=8m，有一艘宽10m，高6m的货轮（横截面可看成矩形）想要经过这座桥，它能顺利通过吗？

分析：假设弧AB所在圆的圆心为点O，连接OA，OM，OD，先由垂径定理求出AD的长，设OA=r，则OD=r-CD，利用勾股定理求出r的值，进而可得出OD的长，在Rt△MOE中假设ME=5，利用勾股定理求出OE的长，进而得出DE的长与货轮的高度相比较即可．

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