牛顿牛吃草问题经典例题(牛顿牛吃草数学题)

导语：经典再现26——牛顿牛吃草问题

杰出的大物理学家牛顿，也是一位著名的数学家，他曾编拟这样一道有趣的“牛吃草”问题：

一块草地，草每天都在均匀地生长．如果放牧27头牛，6周刚好吃完；如果放牧23头牛，9周刚好吃完．问如果放牧21头牛几周刚好吃完？

牛大师的这道“牛吃草”问题闻名世界，曾经引起了几代中小学生的极大兴趣，大家以能独立解决这个问题而自豪．特别地，近几年来以“牛吃草”为原型的各种各类变式题频繁进入到中考殿堂，有人戏称为“牛吃草吃进了中考”。下面详细介绍这个“牛吃草”问题的各种解法．

分析：根据题意，要想解决这个问题首先必须明白题目中每头牛每周的吃草量、草每天的生长量和原有的草量分别是多少？但这些量题目没有告诉我们，告诉我们的是它们之间的几个相等关系。不失一般性，我们自己假定每头牛每周吃1份草，这样一来题目中草每周的生长量以及原有的草量就可以分别为多少份草为单位进行计算。

解法一（初中生解法）：设每头牛每周吃草1份，原有草a份, 草每周生长b份，则

由“如果放牧27头牛，6周刚好吃完”可知：

27头牛6周吃草27×6份，

这些草来自原有的草a份及6周生长出来的草6b份，

因此可得方程：

a+6b=27×6……………（1）

由“如果放牧23头牛，9周刚好吃完”可知：

23头牛9周吃草23×9份，

这些草来自原有的草a份及9周生长出来的草9b份，

因此可得方程：

a+9b=23×9……………（2）

由（1）、（2）解得a=72，b=15，

因此，原有草27份，草每周生长15份。

如果放牧21头牛，设x周刚好吃完，则依题意可得方程：

21x=72+15x，

解得x=12，

所以，如果放牧21头牛，12周刚好吃完。

解法二（小学生解法）：设每头牛每周吃草1份。

从“如果放牧27头牛，6周刚好吃完”可知牛共吃草27×6=162份；

从“如果放牧23头牛，9周刚好吃完”可知牛共吃草23×9=207份，

比较两种放牧方案，第二种方案多出了草207-162=45份，这45份草不是天上掉下来的，而是多生长了3周的时间长出来的，

因此，草每周生长15份．

再由27头牛6周共吃草27×6=162份可知：其中15头牛吃的生长出来的草，只有27-15=12头牛吃原有的草，6周吃完，所以原有草12×6=72份。

放牧21头牛时，让15头牛去吃每周生长的草，6头吃原有72份的草，吃完的时间为72÷6=12天。

所以，如果放牧21头牛12周刚好吃完。

解法三（函数解法）：同样设每头牛每周吃1份草，原有草a份, 草每周生长b份，放牧x头牛y周刚好吃完。则依题意可得y与x满足如下函数关系式：

xy=a+by，

整理，得y=a/(x-b)。

依题意，当x=27时，y=6，

所以6=a/(27-b)；

当x=23时，y=9,

所以9=a/(23-b)。

解得a=72，b=15,

所以y=72/(x-15)，

当x=21时，y=12,

所以放牧21头牛12天刚好吃完草。

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