几何中的定值问题(初中平面几何所有定义定理)

导语：初中几何定值问题：定平方和5例

初中几何定值问题：定平方和5例

题目1：如图， OA、OB是圆O任意两条半径，过B作BE丄OA于E，作0 P丄AB于P， 则定值0P²+ EP² 为（R²）。

解题思路：设圆O的半径为R。已知OP丄AB，故P为AB之中点，EP为Rt△BEA斜边上的中线，故EP = PB = PA。所以OP² + EP² = OP² +PB² = R²。

题目2：如图1，圆0的半径为R，AB、CD是圆0的任意两条弦且AB丄CD于M。

求证AB ²+（CM-DM）²为定值。

解题思路：图2，连接BO并延长交圆于E，连接AE，则∠EAB = 90°，EA // CD，四边形 AECD为等腰梯形，EC = AD。

作EF⊥CD，则四边形 AEFM为矩形，CF= DM(轴对称)，EA = FM = CD-CF-DM = CM-DM。

根据钩股定理：EB² = AB² + EA²。

4 R² = AB² +（CM-DM）²。

故AB²+（CM-DM）²= 4 R²，为定值。

题目3：如图，点P是圆0直径AB上的任意一点，过点P的弦CD和AB相交成45°夹角。

求证PC²+PD²有定值。

解题思路：详见圆中与直径成45°的弦：AP ²+ BP ²=2R ²

题目4：如图1，已知等边△ABC内接于半径为1的圆0，P是圆0上任意一点，求证PA²+ PB² + PC²为定值。

解题思路：图2，作CD⊥BP交其延长线于D， ∠CPD = 60°。通过钩股定理得BC²= PB²+ PC²+ PB· PC。

2BC² = 2PB²+ 2PC²+ 2PB·PC…… ①

又根据托勒密定理得PA = PB + PC，

PA²= PB²+ PC² + 2PB·PC…… ②。

用①－②得2BC²－PA² = PB²+ PC²，

故PA² + PB²+ PC² = 2 BC²……③

又知圆内接正三角形的边长与半径R的关系为

边长= √3 R，代入③式则

PA² + PB² + PC²= 6。

（有关知识参考等边三角形外接圆的几个性质 等边三角形外接圆的几个性质 ）

题目5：如图，内接于圆0的四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于K，设圆的半径为R，求证 AK²+ BK² + CK²+ DK²是定值。

解题思路：应用知识点①对角线互相垂直的四边形叫垂美四边形，其两组对边的平方和相等；②相交弦定理。

图2，过圆心分别作两条弦的垂线，垂足E、F分别是两弦的中点，连接OA(R)，则

AK· C K = BK· DK…… ①

AE = 1 /2 AC = 1／2(AK + CK)…… ②

OE = FK = 1／2(DK－BK)…… ③

根据钩股定理得：

A0² = R² = AE² + OE² 。

将 ①②③式代入最后得：AK²+ BK² + CK² + DK² = 4 R²，为定值。

总结：以上圆的定值问题均与圆半径挂钩，虽然有些题目未提半径，但是我们知道圆半径是一个重要的固定的参数。

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