导语：孙子“鸡兔同笼”解法应用扩展

作者 | 路来良（河南省商丘市十三中学，高级教师）

一、引言

《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书约一千五百年前， 其中记载的“鸡兔同笼”问题多少年来一直引起人们的兴趣。原题是这样的：

“今有雉、兔同笼，上有三十五头，下九十四足，问雉、兔各几何？”

书中给出的解答是：上置三十五头，下置九十四足。半其足，得四十七。以少减多，再命之，上三除下四，上五除下七，下有一减上三，下有二减上五，即得。翻译成数学语言：

94÷2＝47

47－35＝12（兔）

35－12＝23（雉）

二、对“鸡兔同笼”问题解法的思考

现对孙子解“鸡兔同笼”的方法提出以下几个问题，请读者思考：

（1）为什么要“半”其足？“半”其足的真正意义是什么？

（2）四十七当真是一半的足吗？

（3）“上三减下四，上五减下七”，得 12，为什么就是兔子数呢？究竟是个什么数？

（4）如果兔足不是鸡足的 2 倍，孙子的解法还能适用吗？下面逐一解答上面的疑问。

孙子解“鸡兔同笼”问题时，假定 94 足全是鸡足，那么：

94÷2＝47（头）

这 47 头里面有真实的鸡头数等于鸡，真实的兔头数，还有多算一倍的兔头数。47－35＝12（头），这 12 就是被多算了一倍的兔头数，在数值上就等于 35 个鸡兔中兔子的个数。

如果 “鸡兔同笼”问题中另一个量不是所设量的 2 倍，那么孙子的解法还适用吗？回答是肯定的。

假定 94 足全是兔足，那么：

鸡是 2 足 1 头，计算头时按 4 足 1 头，所以 1 只鸡的 2 只足只算 （头），也就是说鸡的头数被少算 倍，那么鸡数不就是 吗 ？

三、应用扩展

下面举例说明孙子的“鸡兔同笼法” 应用扩展。

例 1：2 元币和 5 元币 35 张，共计 106 元，每种币各几张？

解：假设 106 元全是 2 元币，那么：

孙子的“鸡兔同笼法”给我们指明了用算术法解答求多个未知数的思路和方法。

例 2：1 元币、2 元币、5 元币和 10 元币四种面值的人民币 47 张，共计 127 元，其中 5 元币的总面值跟 10 元币相等，2 元币的张数等于 5 元和 10 元两种币的张数和，每种币各几张？

解：5 元币、10 元币两种币的总面值相等，他们张数比为 2:1， 假定 127 张全是 1 元币，那么先求 10 币的张数：

（127－47）÷ [（10－1）＋2（5－1）+（2+1）×（2－1）]

＝80 ÷ 20

＝4（10 元币）

4×2＝8（5 元币）

4＋8＝12（2 元币）

47－4－8－12＝23（1 元币）

本题如果先求 2 元币的张数，可以这样：

(127-47) ÷ [()(10-1)+()(5-1)+(2-1)]

=80 ÷

=12 (2 元币 )

12 x =4(10 元币)

12 x =8(5 元币 )

47-4-8-12=23 （1 元币）

四、小结

“鸡兔同笼法”不单是一道数学趣题，更是一种数学模型，此类问题都可以用这种方法解答。从上面的解答可以看出，这种方法具有计算简便的优点。

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