两矩阵相乘为零则其行列式

在矩阵乘法中，有一个十分有趣的性质：当两个方阵相乘的结果等于零矩阵时，它们的行列式一定为零。这个结论被广泛应用于线性代数中的各个领域，包括矩阵论、线性方程组和特征值问题等。本文将从多个角度探讨这个性质的证明方法以及其应用。

两矩阵相乘为零则其行列式

首先，我们从矩阵乘法的定义出发来证明这一结论。设有两个方阵$A$和$B$，它们的乘积为$AB$，其中矩阵$A$的维度为$m \times n$，矩阵$B$的维度为$n \times p$。如果$AB$等于零矩阵，那么对于任意的$i\in [1,m]$和$j\in [1,p]$，都有：

$\sum\limits_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} =0$

这就是说，矩阵$A$的第$i$行与矩阵$B$的第$j$列的内积为零。由于当$i\neq j$时，这个内积就是矩阵乘积$AB$中的一个元素，所以$AB$必定是一个对角线上全为零的矩阵。而由于对角线上的元素是$AB$中的$n$个元素相乘，所以矩阵$AB$的行列式为零。因此，我们证明了矩阵乘积为零时行列式必为零的性质。

其次，我们来看看这个结论在线性方程组中的应用。设有一个$n$元线性齐次方程组，可以表示为：

$\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=0\\ \cdots \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=0\end{cases}$

其中系数矩阵为$A=[a_{ij}]_{n\times n}$，未知数向量为$\mathbf{x}=[x_1,x_2,...,x_n]^T$，零向量为$\mathbf{0}=[0,0,...,0]^T$。如果系数矩阵的行列式$|A|=0$，那么根据行列式的定义，$A$的任意两行线性相关，即存在不全为零的实数$k_1,k_2,...,k_n$，使得：

$k_1\cdot a_{i1}+k_2\cdot a_{i2}+...+k_n\cdot a_{in} =0\quad (i=1,2,...,n)$

这个关系式可以写成矩阵乘积的形式：

$K\cdot \mathbf{A}=\mathbf{0}$

其中$K=[k_1,k_2,...,k_n]$为一行向量，$\mathbf{A}=[a_{1},a_{2},...,a_{n}]$为系数矩阵的列向量组成的矩阵。这说明$\mathbf{x}$是线性方程组的一个非零解，因此方程组是线性相关的。反之，如果方程组是线性相关的，那么至少存在一个非零解$\mathbf{x}$，使得$\mathbf{A}\cdot \mathbf{x}=\mathbf{0}$，即矩阵乘积$\mathbf{A}\cdot\mathbf{x}$等于零向量。由于$\mathbf{0}$是唯一的零向量，所以我们可以得到$|A|=0$的充要条件是方程组是线性相关的。这就是说，行列式为零的方阵所对应的线性方程组一定是线性相关的。

最后，我们来看看这个结论在特征值问题中的应用。设有一个实对称矩阵$A$，其特征多项式为$f(\lambda)=|A-\lambda I|$，其中$I$为$n$阶单位矩阵。由于$A$是实对称矩阵，所以它的特征值都是实数。根据代数学基本定理，$f(\lambda)$可以分解为：

$f(\lambda)=\prod\limits_{i=1}^n(\lambda-\lambda_i)$

其中$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$为$A$的$n$个特征值。我们考虑当$f(\lambda)$中存在重根时，它对应的特征向量个数就会增加。具体地，假设$f(\lambda)$有$k$个不同的根，其中有$r$个重根（$r\leq k$）。不妨设重根为$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_r$，它们各自对应的特征向量为$\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_r$。我们可以将它们合并成一个矩阵$V=[\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_r]$，则$V$的维度为$n\times r$。另外，根据特征向量的定义，对于任意的$i\in [1,r]$，都有$A\mathbf{v}_i=\lambda_i\mathbf{v}_i$。根据矩阵乘积的性质，我们可以将它们表示为：

$AV=[\lambda_1\mathbf{v}_1,\lambda_2\mathbf{v}_2,...,\lambda_r\mathbf{v}_r,B]$

其中$B$为一个$n\times (n-r)$的矩阵。如果$r

$VB=[\mathbf{0},\mathbf{0},...,\mathbf{0},\mathbf{0}]$

其中$\mathbf{0}$为全零向量，有$r$个。因此，我们只需证明矩阵$VB$的行列式为零即可。由于矩阵$V$的秩为$r$，所以矩阵$VB$的秩不超过$r$。又因为矩阵$VB$的行数为$n$，所以它的秩不能超过$n-1$。因此，根据秩-行列式定理，$VB$的行列式一定等于零。而根据行列式的性质，$|VB|=|V|\cdot |B|=0$，即矩阵$V$和矩阵$B$的乘积的行列式为零。这就是说，当特征多项式$f(\lambda)$中存在重根时，对应的特征向量个数会增加，并且它们在一定条件下构成的矩阵的行列式为零。

综上所述，两矩阵相乘为零则其行列式的性质在线性代数中有着广泛的应用。它可以用于证明线性方程组的线性相关性、特征向量的个数和特征向量矩阵的行列式等问题。这个性质的证明方法也有多种，可以从矩阵乘法和行列式的定义入手，或者通过秩-行列式定理等现成的定理来证明。因此，掌握这个性质对于理解线性代数中的相关概念和定理非常重要。