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值问题例题(值问题讲解)

导语：「最值问题」最值问题探究

从各区的模考卷来看，最值问题仍是中考热门，本文以各区一、二模卷中最值问题为例，对最值问进行简要分类和例析。

一、最值类型

1、将军饮马型：通常为两条线段之和的最值问题，利用对称性质将其中

一条线段进行转换，再利用两点之间线段最短（或三角形三边关系）得到结果。

2、小垂回家型：通常为一条线段的最值问题，即动点的轨迹为直线，利用垂线段最短的性质得到结果。

3、一箭穿心型：通常为一条线段的最值问题，即动点的轨迹为圆或弧，利用点与圆的位置关系得到结果。

4、一加半型：通常为一条线段与另一条线段一半的和的最值问题，即将那半条线段利用三角形中位线或30°的对边等知识进行转换，再利用饮马或小垂或穿心。

5、三边关系型：通常利用两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，求其最大（小）值。

6、综合型：大多为饮马+小垂、小垂+穿心、饮马+穿心、饮马+转换等。

二、分类例析

1、饮马型

例1：如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，CE=3, DE=1, 点P在AC上，则PE+PD的最小值是_____

解析：如图

例2：如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为____.

解析：如下图

2、小垂型

例3：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连接DE，则DE的最小值为_________.

解析：如下图

3、穿心型

例4：如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=120°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN翻折得到△A’MN，连接A’C，则A’C长度的最小值是____.

解析：如下图

4、转换型

例5: 如图，P为菱形ABCD内一点，且P到A、B两点的距离相等，若∠C=60°，CD=4，则的最小值为____________

解析：因为P到A、B两点的距离相等，所以P 在AB的垂直平分线上，又因菱形ABCD中∠C为60°，所以△ABD为等边三角形，AB的垂直平分线经过点D,如下图

由∠ADP=30度，可将PD的一半进行转换，即过点P作AD的垂线。如图，

即B、P、F三点共线，且BF⊥AD时最短

5、三边型

例6：如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为________

解析：如下图因为AB为定长，所以取其中点E，则OE为定值，在△ODE中，DE为定值，OE为定值，根据三角形三边关系即可得到OD的最大值。

例7：如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=8，点D在AC上，且AD=6，将线段AD绕点A旋转至AD’，F为BD’的中点，连结CF，则线段CF的取值范围.

解法一：瓜豆原理，点F的轨迹为圆，一箭穿心便可以求出其取值范围。

解法二：如下图，取AB的中点M，连接FM,CM，由斜边上的中线等于斜边的一半得CM为定值，由三角形中位线得FM为定值，所以在△CFM中，三边关系可得到CF的取值范围.

例8：如图，BA=1，BC=2，以AC为一边做正方形AEDC，使E，B两点落在直线AC的两侧，当∠ABC变化时，求BE的最大值.

解析：将△AEB以点A中心顺时针旋转90°，得到△ACB’,如下图所示，连接BB’，所以B’C=BE，在△BB’C中，BB’为定值，BC为定值，三角形三边关系即可得到B’C的最大值，即BE的值.

6、结合型

例9：如图，正方形ABCD中，AB=4, E为CD边的中点，F、G为AB、AD边上的点，且AF=2GD, 连接E、DF相交于点P，当AP为最小值时，DG=________

解析：由AF=2GD，AD=2DE，得△AFD∽△DGE.如下图

∴GE⊥DF, 那么线段AP中，A点为定点，P为动点，由∠DPE为直角，所以P的轨迹为一以DE中点为圆心的一段弧。如下图

由一箭穿心可得到AP的最小值为A,P,M三点共线，而此时，由△DMP∽△FAP可得到AP=AF即可得到结果.

三、模考分析

如图，在平面直角坐标系中，A(6,0),B(0,8),点C在y轴正半轴上，点D在x的正半轴上，且CD=6，以CD为直径在第一象限作半圆，交线段AB于点E、F，则线段EF的最大值为______如图，在平面直角坐标系中，A(6,0),B(0,8),点C在y轴正半轴上，点D在x的正半轴上，且CD=6，以CD为直径在第一象限作半圆，交线段AB于点E、F，则线段EF的最大值为______

解析：线段EF由于半圆的变化而变化，所以应将其作为弦的变化来看，而弦长又与弦心距存在变量之间的关系，所以首先作出弦心距.如下动图，所以当PQ最小时，EF最大。