勾股定理之折叠问题知识点(勾股定理中的折叠问题易错点是什么)
导语：勾股定理及其逆定理（四）——折叠问题与等面积法
【思路点拨】
1. 请填写“勾股定理”或“勾股定理逆定理”：
条件是直角三角形时，考虑______________________；
要证明三角形是直角三角形，考虑______________________．
2.折叠的性质：
① 叠是全等变换，折叠前后对应角______，对应边_____；
②折叠前后对应点所连的线段被对称轴____________．
3. 等面积法
如图，Rt△ABC的面积可以表示为_____________，还可以表示为_______________，根据面积的不同表达形式，可以得到a，b，c，h之间的数量关系为___________________________．
4. 折叠问题处理思路
（1）找__________________；
（2）____________________；
（3）利用_______________列方程．
5. 等面积法
当几何图形中出现多个高（垂直、距离）的时候，可以考虑______________解决问题，即利用图形面积的不同表达方式列方程．
6、做一做：
如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，点D在BC边上，将直角边AC沿直线AD折叠，点C恰好落在斜边AB上的点E处．设DE的长为x，则CD=__________，BD=_________．（用含x的代数式表示）
【例题示范】
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC沿过点A的直线折叠，使点B恰好落在AC边上的点B′处，若折痕交BC于点E，则B′E的长为_________．
思路分析:
1、找折痕：直线AE即为折痕
2、转移，表达设B′E=x，则CE=4-x，由折叠，得BE=B′E=x，AB′=AB=3
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4, 由勾股定理，得AC=5 ∴B′C=2
3、利用勾股定理列方程在Rt△EB′C中，由勾股定理，得
x2+22=(4-x)2 解得x=1.5
【巩固提高】
1. 如下图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，点D在BC边上，将直角边AC沿直线AD折叠，点C恰好落在斜边AB上的点E处，则线段CD的长为__________．
2. 如下图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长为__________．
3. 如下图，在长方形ABCD中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则△ABE的面积为_________．
4. 如下图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，若AB=4cm，BC=5cm，则EF的长为________．
5. 如下图，在△ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，E为BC边上一点，把△ABC沿AE折叠，使AB落在直线AC上，求重叠部分（阴影部分）的面积．
6、如下图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B'处，点A的对应点为A'．若B'C=3，则CN=______，AM=_______．
7、如图，将长为4cm，宽为2cm的矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边的中点E处，压平后得到折痕MN，则线段AM的长为__________．
8、若直角三角形两直角边的比为5:12，则斜边上的高与斜边的比为（ ）
A．60:13 B．5:12 C．12:13 D．60:169
9、如下图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，M为BC边的中点，若MN⊥AC于点N，则MN=__________．
10、若直角三角形两条直角边的长分别为7和24，在这个三角形内有一点P到各边的距离都相等，则这个距离是__________．
11、已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若AC+BC=14cm，AB=10cm，则CD=__________．
12、若等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则该等腰三角形的面积为__________．
【拓展训练】
1. 观察图中的3个图案，设△ABC的三边长分别为a，b，c，请根据三角形的形状，猜测a2，b2，c2满足的条件．
（1）如果△ABC是直角三角形，则a2+b2______c2；
（2）如果△ABC是锐角三角形，则a2+b2______c2；
（3）如果△ABC是钝角三角形，则a2+b2______c2．
2、如下图所示的一块地，已知∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．
3、如下图，一块四边形菜地ABCD，已知∠B=90°，AB=9m，BC=12m，AD=8m，CD=17m．求这块菜地的面积．
【参考答案】
【思路点拨】
1. 勾股定理，勾股定理逆定理
2. ①对应边相等，对应角相等
②垂直平分
3. ½ab ，½ch，ab=ch
4. （1）折痕
（2）表达、转移
（3）勾股定理
5. 利用面积相等
6. x，8-x
【巩固提高】
1. 3 cm
2. 3 cm
3. 6
4. 5/2cm
5. 36
6. 4，2
7. 13/8cm
8. D
9. 12/5
10. 3
11. 4.8 cm
12. 48
【拓展训练】
1. （1）= （2）> （3）<
2. 216 m2
3. 这块菜地的面积为114 m2
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