勾股定理处理折叠的三种模型得到直角等于什么(勾股定理折叠)

导语：勾股定理处理折叠的三种模型，得到直角、等腰、全等三角形

勾股定理中折叠模型是比较多的一种实际应用，折叠的本质是轴对称，折叠前后的图形全等，即对应边相等，对应角相等，还要注意对称轴，对应点被对称轴垂直平分。

模型一：折叠构造直角三角形

折叠构造直角三角形是比较常见的一种模型，将直角三角形沿着某条线段进行折叠，可以得到另外一个直角三角形，然后设未知数，表示出这个三角形的三边长，利用勾股定理列出方程，求出未知数的值。

例题1：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．

分析：先通过勾股定理求出线段AB的长度，将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，得到AE=AC=6。求线段CD的长度，可设CD=x，那么DE=CD=x，再表示出线段DB的长度，求出线段BE，利用勾股定理得到关于x的方程。

解：∵两直角边AC=6cm，BC=8cm，

在Rt△ABC中，由勾股定理可知AB=10，

现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD=DE，AE=AC=6，

∴BE=10-6=4，设DE=CD=x，BD=8-x，

在Rt△BDE中，根据勾股定理得：BD^2=DE^2+BE^2，

即（8-x）^2=x^2+4^2，

解得x=3．即CD的长为3cm．

模型二：折叠构造全等三角形

例题2：如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，DB交OA于点E．

（1）求证：OE=BE； （2）求△OEB的面积.

分析：（1）通过折叠可知：OC=OD，∠D=∠OCB=90°，由于四边形OABC为矩形可得：OC=AB，∠BAO=90°，那么∠D=∠BAO=90°，再加上对顶角∠BEA、∠OED相等，通过“AAS”判定两个三角形全等；

（2）可设OE=BE=x，然后表示出线段AE的长度为4-x，在直角三角形ABE中，通过勾股定理得到关于x的方程，求出x的值，然后利用三角形的面积公式求出三角形OEB的面积。

解：（1）∵四边形OABC为矩形；

∴∠OCB=∠OAB=90°，OC=AB；

由折叠可知：∠D=∠∠OCB=90°，OD=OC，

∴OD=AB，∠D=∠OAB；

又∵∠OED=∠AEB；

∴△ODE≌△BAE（AAS）；

∴OE=BE.

（2）在Rt△EAB中，设BE=OE=x，则AE=4-x，

由勾股定理得2^2+（4-x）^2=x^2，

解得x=5/2，即BE=5/2，

∴OE=BE=5/2，则S△OEB=1/2OEAB=1/2×5/2×2=5/2

模型三：折叠构造等腰三角形（菱形）

例题3：如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D落在点H的位置上，点C恰好落在边AD上的点G处，连接EG．

（1）△GEF是等腰三角形吗？请说明理由；（2）若CD=4，GD=8，求HF的长度．

分析：（1）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠GFE=∠GEF，进而得出△GEF是等腰三角形．

（2）设HF长为x，则GF长为（8-x），在Rt△FGH中，依据勾股定理可得x^2+4^2=（8-x）^2，即可得到HF的长度．

解：（1）∵长方形纸片ABCD，

∴AD∥BC，

∴∠GFE=∠FEC，

∵∠FEC=∠GEF，

∴∠GFE=∠GEF，

∴△GEF是等腰三角形．

（2）∵∠C=∠H=90°，HF=DF，GD=8，设HF长为x，则GF长为（8-x），

在Rt△FGH中，x^2+4^2=（8-x）^2，

解得x=3，

∴HF的长为3．

这也是在前面文章中所提及的平行线加角平分线得到等腰三角形的模型，若连接CF则可得到菱形，从而可求出折痕EF的长度。

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