圆的标准方程的定义(圆的标准方程讲义)

导语：高考数学重要知识点：圆的标准方程

高考数学考查知识点不仅多，还会考查各种各样的数学思想方法。同时高考数学为了起到选拔人才的作用，试题编排除了有深度，还会考虑到广度上的扩展。

圆从小学到高中我们都需要学习到，可以说是所有考生最熟悉的考点之一。尽管在每一个阶段，我们都会学到圆的知识，但在每一个阶段考查圆的试题类型、思想方法都会不一样。

因此，今天我们就一起来讲讲高考数学是怎么去考查圆的标准方程。

我们把平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)称为圆。标准

方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中(r>0)，圆心：(a，b)，半径：r。

圆的一般方程可表述为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).

方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：

(1)B＝0；(2)A＝C≠0；(3)D2＋E2－4AF＞0.

求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算：

1、圆心在过切点且与切线垂直的直线上．

2、圆心在任一弦的中垂线上．

3、两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．

典型例题1：

已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．

(1)求圆M的方程；

(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，

A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．

利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a，b，r或D，E，F的方程组。

学会分辨点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：

1、若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.

2、若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.

3、若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.

利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用。

求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：

1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．

2、定义法：根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程．

3、几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．

4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．

典型例题2：

如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C是圆x2＋y2＝1上的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|＝|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程．

解决与圆有关的最值问题的常用方法：

1、形如u＝(y-b)/(x-a)的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题(如A级T9)；

2、形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；

3、形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题。

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