那些教材中未给出证明的定理到底能否使用(未证明的数学问题)

导语：那些教材中未给出证明的定理，到底能否使用？

那些教材中未给出证明的定理，到底能否使用？

初中几何知识体系，是基于《几何原本》中的公理体系建立的，可以看作是公理体系的子集，在教材编写中，为了教学方便，并没有直接照搬，而是有选择性地“重建”了一套公理体系，原本许多定理，在教材中被称为公理。

教材中的几何十大公理：

1.过两点有且只有一条直线.

2.两点之间,线段最短.

3.垂线段最短.

4.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

5.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(平行公理)

6.同位角相等,两直线平行.

7.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.(SAS)

8.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.(ASA)

9.三边对应相等的两个三角形全等.(SSS)

10.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.(HL)

公理体系便以这十条公理为基础，先证明一批真命题作为定理，再以这些定理为基础证明一批推论，这些公理、定理、推论便构成了我们整个初中几何证明体系。既然是公理体系，那么便要遵循体系规则，按教材安排的前后顺序进行教学，原则上凡是能成为证明依据的定理，需要首先用已知结论证明。

到了九年级中考复习阶段，基本已经完成了所有定理的证明，那么综合题中，学生可使用的范围便不再受限制，可自由使用。但是受教材知识结构限制，有一部分真命题，从最早期的定理沦落成命题，那么这些真命题，能否在考试中作为依据出现？一直是复习课教学中引发争论的地方。

争论一

定理：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。出现位置在人教版八年级上册，其实它有一个逆命题：直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°。

我们可以对它的正确性进行必要的证明，如下图：

根据它出现的教材位置，可以使用八年级的知识进行证明，因此，在体系中，它有资格成为一个定理。可惜的是，在教材中，它并不是，只能作为一个真命题出现。

而在学习了三角函数之后，它的证明又更进一步简化了，根据直角边与斜边的比值，得到对角的正弦值，从而也能得到30°角。

争论二

定理：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。它也有一个逆命题，同样为真命题，三角形中，如果某边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形。

我们同样可以对它的正确性进行证明，如下图：

根据该定理出现的教材位置，用证明一可以完成证明，或者在中考复习中用证明二完成，它也是一个真命题。

争论三

定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半；同弧所对的弦相等；相等的弧所对的圆心角相等。

后来教材中进行了归纳，同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弧、弦四组量中只要有一组量相等，剩下三组量均相等。再往后学习了弦心距之后，再加上它，总共五组量，简称为“五合一”，这五组量之间的关系同样也能证明为真命题。那么补充进来的几组量可以作为证明依据使用吗？

争论四

圆的垂径定理中，可由垂直于弦的直径得到两个结论，直径平分这条弦、直径平分弦所对的弧；也可由平分弦（不是直径）的直径得到两个结论，直径垂直于弦、直径平分弦所对的弧。那么，由直径平分弦所对的弧，其实也能得到直径垂直于弦、直径平分这条弦，如下图：

也就是说，垂径定理中的三个条件，任意一个可以得到另外两个。

以上四种争论，其实归根到底就是究竟学生在解几何综合题时，到底能否将之作为依据。

原则上，不能。

根据教材要求，也仿照公理化体系，未经证实的结论，不可作为定理直接用，但如果要使用，可先将这个命题证明一次，再利用它的结论，这样是符合教材要求的。

而在实际教学中，学生真要书写这些过程，无疑将使解答时间大大延长，对于中考120分钟的时间限定，是一大挑战，于是，在某些时候，我们默认了学生“省”步骤的做法。但作为老师，还是要有原则，不妨碍主体证明思路的步骤，省了可以，但涉及到主线思维中的关键步骤，不能省。在使用证明依据时，未经教材注明为定理的依据，不能直接使用，而是要先简要说明。

疑惑依然存在，如果在中考时，题目过程较多，那是否又可以使用上述“定理”呢？我想首先应从命题角度出发，从源头上避免证明步骤较多的情况，其次，避开有可能用到上述“定理”的条件，最后，本着人文关怀的理念，阅卷过程中，发现用到了这些定理的，不用挑刺的眼光看待。

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