抛物线三大变换有何规律和特点(抛物线简单的变换是怎样定义的)

导语：抛物线三大变换有何规律？

二次函数图象变换口诀

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的平移、旋转和翻折，求这三种变换后的解析式是中考中常见的问题，问题解决并不难，只需要明白抛物线的变换实际是顶点的变换，通过画图及各种变换的意义问题便可以迎刃而解。如果懒得画图，那就记住以下口诀同样可以快速求解。

一、平移口诀

上加下减常数项，左加右减自变量。

意思是：如果抛物线向上平移，常数c就加上平移距离；如果向下平移，常数项就减去平移距离；如果向左平移，自变量x就加上平移距离；如果向右平移，自变量就减去平移距离。

例如，把抛物线y=2x2-3x-4向上平移3个单位，再向右平移2个单位，所得抛物线解析式是___________。

解析：依据口诀，平移后的抛物线解析式为：

y=2(x-2)2-3(x-2)-4+3，

整理，得y=2x2-11x+13。

二、翻折变换

抛物线的翻折变换常见的是沿坐标轴翻折。

1.沿x轴翻折

抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)沿x轴翻折后，其顶点坐标(-b/2a，(4ac-b2)/4a)关于x轴对称，变为(-b/2a，-(4ac-b2)/4a)，开口大小不变，方向改变，因此，翻折后的解析式为y=-a(x+b/2a)2-(4ac-b2)/4a)，

整理得：y=-ax2-bx-c.

因此可得口诀：

横轴翻半圈，符号全变反。

2.沿y轴翻折

抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)沿y轴翻折后，其顶点坐标(-b/2a，(4ac-b2)/4a)关于y轴对称，变为(b/2a，(4ac-b2)/4a)，开口大小和方向都不变，因此，翻折后的解析式为y=a(x-b/2a)2+(4ac-b2)/4a)，

整理得：y=ax2-bx+c.

因此可得口诀：

纵轴翻半圈，只需b改变。

三、旋转变换

在初中阶段，抛物线的旋转一般是指旋转180°，旋转中心常见的是原点和顶点。

1.绕原点旋转

将抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)绕原点旋转180°，其顶点关于原点对称，开口大小不变，方向改变。

如果将原解析式y=ax2+bx+c配方为

y=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a，

其顶点坐标为(-b/2a，(4ac-b2)/4a)，

旋转后的顶点坐标为(b/2a，-(4ac-b2)/4a)

所以旋转后解析式为：y=-a(x-b/2a)2-(4ac-b2)/4a，

整理，得 y=-ax2+bx-c。

由此可得口诀为：

旋转中心为原点，a、c变号b不变。

2.绕顶点旋转

将抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)绕它的顶点旋转180°，其顶点坐标(-b/2a，(4ac-b2)/4a)不变，开口大小不变，只是方向改变而已。

所以旋转后解析式为：y=-a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a，

整理，得 y=-ax2-bx+c-b2/2a。

由此可得口诀为：

旋转中心是顶点，a、b变号c用减，2a去除b平方。

例如，将抛物线y=-3x2+6x-5绕它的顶点旋转180°，所得抛物线解析式是________________。

解析：根据口诀，旋转后解析式为y=3x2-6x-5-62/[2×(-3)]，

整理，得y= 3x2-6x+1.

评注：简单的解法是先将抛物线解析式配方为y= -3(x-1)2-2，

依题意，旋转后的解析式为y=3(x-1)2-2，

整理，得y= 3x2-6x+1.

现将各种常见变换用顺口溜总结如下：

二次函数抛物线，三种变换很常见，

平移翻折和旋转，屡见各种考试间。

平移变换分两类，平移距离要注意，

上加下减常数项，左加右减自变量；

翻折变换在两轴，横轴纵轴不一样，

横轴上面翻一翻，三个符号全变反；

纵轴边上翻一翻，a、c不变b变反。

旋转变换看中心，常见原点和顶点，

绕着原点转半圈，a、c变号b不变，

绕着顶点转半圈，a、b变号c麻烦，

b方除以2倍a，再用c减这个商。

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