让几何思维帮你理解复杂函数的求导法则(复杂函数求导公式)

导语：让几何思维帮你理解复杂函数的求导法则

这是《机器学习中的数学基础》系列的第11篇，也是微积分的第4篇。

之前我们对简单函数的求导有了直观的了解，但在实际情况中，函数往往都是由简单函数组合而成的复杂函数。总结一下，无外乎有三种类型：一是函数的加和，二是函数的乘积，三是函数的复合。我们一个一个来看他们的导数该如何去求解。

函数相加

我们先来看两个函数相加的情况。举个例子，我们有组合函数y=x+x²，先把它的图像大概画一下：

如上图，我们分别画出了y=x，y=x²，y=x+x²的图像，然后我们确定一点，给它一个微小的增量dx，看看各个函数值是如何变化。很明显，y=x的变化就是x'，y=x²的变化是(x²)'。因为组合函数是两个函数的加和，所以组合函数的变化量也是两个函数的加和。因此，y=x+x²的导数就是两个导数的加和，即y'=x'+(x²)'=2x+1.

函数相乘

接下来我们来看两个函数相乘，又该如何求导呢？还是举个例子，比如y=sin(x)x²。这里我们用面积法来求出它的导数，如下图：

上图中，我们画了一个矩形，它的一边是sinx，另一边是x²。然后我们给定一个微小增量dx，看看矩形的各边有什么变化。首先，矩形sinx的这边的变化量就是d(sinx)。注意，因为长方形的边都是函数，而不是自变量x，因此变化量就是函数的导数。而x²这一边的变化量是d(x²)。所以，整个组合函数增加的面积就是绿色线围起来的面积，也就是x²d(sinx)+sinxd(x²)+d(sinx)d(x²)。因为我们给的是一个微小增量dx，所以d(sinx)d(x²)这一项可以忽略为0.因此，组合函数y=sin(x)x²的导数为y'=x²d(sinx)+sinxd(x²)=x²cosx+2xsinx.我们可以把两个函数乘积的函数求导法则记为：左导右不导，加上右导左不导。

函数复合

接下来我们看最后一种情况，函数的复合，也就是函数的嵌套。举个例子，比如y=sin(x²)就是一个复合函数。这种类型的函数怎么求导呢？

很简单，我们用另一种方式来表示它。设h=x²，因此y=sin(h)。现在我们给x一个微小增量dx，那么h函数的变化量就是dh=2xdx。而y=sin(h)是以h作为自变量的，相当于是给了h一个微小增量dh。因此，复合函数的变化量就是d(sin(h))=cos(h)dh。把dh=2xdx代入，可得d(sin(h))=cos(h)2xdx=cos(x²)2xdx。两边同时除以dx，得到d(sin(x²))/dx=2xcos(x²)，即y'=(sin(x²))'=2xcos(x²)。

我们把复合函数的求导法则又叫做链式求导法则，总结一下就是先对外层函数求导，然后再乘以内层函数的导数即可。

这就是今天的全部内容，欢迎留言讨论。

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