四条直线两两相交有几个对顶角(两条直线相交形成的四个角中相对的一对角叫做什么)

导语：4条直线两两相交于不同点，对顶角同位角内错角同旁内角各有几对

题目：

一、 若4条直线两两相交于不同点，则对顶角、同位角、内错角、同旁内角各有几对？

二、 若n条直线两两相交于不同点，则对顶角、同位角、内错角、同旁内角各有几对？

这道题看似不难，真正做起来，还是挺考验逻辑思维和推导能力的。

花了一上午，整理了一下，不知道能不能给神兽讲清楚。

1、 回到起点

若n=1，即只有1条直线，那么不存在相交点，也不存在对顶角、同位角、内错角、同旁内角。

▲图1

若n=2，即只有2条直线，那么存在1个相交点，对顶角有2对，不存在同位角、内错角、同旁内角。

从这里可以看出：对顶角先与同位角、内错角、同旁内角形成，只要有2条相交直线，形成1个相交点，就形成2对对顶角（简化一下：2条相交直线=形成1个相交点=对顶角2对）暂存备用。

若n=3，即有3条直线，那么存在3个相交点，对顶角有6对，同位角12对、内错角6对、同旁内角6对。

▲图3

从这里可以看出：（1）有3条相交直线，同位角、内错角、同旁内角开始形成；

（2）3条相交直线，形成3个相交点，对应6对对顶角；

（3）任意两条直线被第三条直线所截，形成：同位角4对，内错角2对，同旁内角2对。

列举：

蓝、绿两条直线被第三条红色直线所截，形成：同位角4对，内错角2对，同旁内角2对；

蓝、红两条直线被第三条绿色直线所截，形成：同位角4对，内错角2对，同旁内角2对；

红、绿两条直线被第三条黄色直线所截，形成：同位角4对，内错角2对，同旁内角2对；

所以共形成同位角12对，内错角6对，同旁内角6对。

（4）以上可以看出：对顶角和（同位角、内错角、同旁内角）不是一伙的。

对顶角依附于2条相交直接形成，1个相交点对应于2对对顶角。

（同位角、内错角、同旁内角）依附于3条相交直接形成，且同时形成产生，同旁内角对数=内错角对数，同位角对数是他们的2倍。可以理解为他们是绑定在一起的。

2、 进入正题

有了以上的铺垫，再来解题，思路应该已经清晰了。

▲图4

若n=4，即有4条直线，那么存在6个相交点，对顶角有12对。

6个相交点的形成过程是：蓝、绿、红三直线相交形成3个相交点，黑线加入后，分别于他们相交，又形成3个相交点，所以共形成6个相交点。

接下来解决（同位角、内错角、同旁内角）对数：

有两种思路：

第一种思路：以3条直线为一组，可列举出：

蓝、绿、红为一组，形成：同位角12对，内错角6对，同旁内角6对

蓝、绿、黑为一组，形成：同位角12对，内错角6对，同旁内角6对

蓝、红、黑为一组，形成：同位角12对，内错角6对，同旁内角6对

红、绿、黑为一组，形成：同位角12对，内错角6对，同旁内角6对

所以共形成：同位角48对，内错角24对，同旁内角24对。第一小题完成。

第二种思路：

基于“任意两条直线被第三条直线所截，形成：同位角4对，内错角2对，同旁内角2对”的基本单元构成。

从4条直线中任意选出2条直线，有6种可能；剩下2条直线，这2条直线就可以作为第三条直线。那么构成上述基本单位的数量为：6×2=12

所以共形成：同位角4×12=48对，内错角2×12=24对，同旁内角2×12=24对。第一小题完成。

总结：第一种思路做4条直线还是可以的，比较直观。第二种思路是为接下来的第二小题做铺垫的，应掌握第二种思路的解题方法。

3、 再走一步

若n=5，即有5条直线

▲图5

4条直线，有6个相交点，第5条直线加入后，就有6+4=10个相交点了。形成20对对顶角。

同理：基于“任意两条直线被第三条直线所截，形成：同位角4对，内错角2对，同旁内角2对”的基本单元构成。

从5条直线中任意选出2条直线，有10种可能；剩下3条直线，这3条直线就可以作为第三条直线。那么构成上述基本单位的数量为：10×3=30

所以共形成：同位角4×30=120对，内错角2×30=60对，同旁内角2×30=60对。

再走一步其实是为解第二小题打基础的。

4、 当n=n

当n=n，即有n条直线两两相交于不同点。

首先来看形成多少个相交点：

n=1，0个相交点

n=2，1个相交点

n=3，3个相交点（加入第3条后，多形成2个交点，即1+2=3）

n=4，6个相交点（加入第4条后，多形成3个交点，即1+2+3=6）

n=5，10个相交点（加入第5条后，多形成4个交点，即1+2+3+4=10）

……

n=n，n(n-1)个相交点[加入第n条后，多形成n-1个交点，即1+2+3+4+(n-1)=n(n-1)]

所以形成2×n(n-1)= n(n-1)对对顶角。

再基于“任意两条直线被第三条直线所截，形成：同位角4对，内错角2对，同旁内角2对”的基本单元构成。

从n条直线中任意选出2条直线，有n(n-1)种可能；剩下（n-2）条直线，这（n-2）条直线就可以作为第三条直线。那么构成上述基本单位的数量为：n(n-1)×(n-2)= n(n-1) (n-2)。

这里“从n条直线中任意选出2条直线，有n(n-1)种可能”是有难度的，属于超范围了，要用到排列组合的相关知识。

基本单元数量有了，所以共形成：

同位角4×n(n-1) (n-2)= 2n(n-1) (n-2)对，内错角2×n(n-1) (n-2)= n(n-1) (n-2)对，同旁内角2×n(n-1) (n-2)= n(n-1) (n-2)对，第二小题完成。

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