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四条直线两两相交有几个对顶角(两条直线相交形成的四个角中相对的一对角叫做什么)

导语:4条直线两两相交于不同点,对顶角同位角内错角同旁内角各有几对

题目:

一、 若4条直线两两相交于不同点,则对顶角、同位角、内错角、同旁内角各有几对?

二、 若n条直线两两相交于不同点,则对顶角、同位角、内错角、同旁内角各有几对?

这道题看似不难,真正做起来,还是挺考验逻辑思维和推导能力的。

花了一上午,整理了一下,不知道能不能给神兽讲清楚。

1、 回到起点

若n=1,即只有1条直线,那么不存在相交点,也不存在对顶角、同位角、内错角、同旁内角。

▲图1

若n=2,即只有2条直线,那么存在1个相交点,对顶角有2对,不存在同位角、内错角、同旁内角。

从这里可以看出:对顶角先与同位角、内错角、同旁内角形成,只要有2条相交直线,形成1个相交点,就形成2对对顶角(简化一下:2条相交直线=形成1个相交点=对顶角2对)暂存备用。

若n=3,即有3条直线,那么存在3个相交点,对顶角有6对,同位角12对、内错角6对、同旁内角6对。

▲图3

从这里可以看出:(1)有3条相交直线,同位角、内错角、同旁内角开始形成;

(2)3条相交直线,形成3个相交点,对应6对对顶角;

(3)任意两条直线被第三条直线所截,形成:同位角4对,内错角2对,同旁内角2对。

列举:

蓝、绿两条直线被第三条红色直线所截,形成:同位角4对,内错角2对,同旁内角2对;

蓝、红两条直线被第三条绿色直线所截,形成:同位角4对,内错角2对,同旁内角2对;

红、绿两条直线被第三条黄色直线所截,形成:同位角4对,内错角2对,同旁内角2对;

所以共形成同位角12对,内错角6对,同旁内角6对。

(4)以上可以看出:对顶角和(同位角、内错角、同旁内角)不是一伙的。

对顶角依附于2条相交直接形成,1个相交点对应于2对对顶角。

(同位角、内错角、同旁内角)依附于3条相交直接形成,且同时形成产生,同旁内角对数=内错角对数,同位角对数是他们的2倍。可以理解为他们是绑定在一起的。

2、 进入正题

有了以上的铺垫,再来解题,思路应该已经清晰了。

▲图4

若n=4,即有4条直线,那么存在6个相交点,对顶角有12对。

6个相交点的形成过程是:蓝、绿、红三直线相交形成3个相交点,黑线加入后,分别于他们相交,又形成3个相交点,所以共形成6个相交点。

接下来解决(同位角、内错角、同旁内角)对数:

有两种思路:

第一种思路:以3条直线为一组,可列举出:

蓝、绿、红为一组,形成:同位角12对,内错角6对,同旁内角6对

蓝、绿、黑为一组,形成:同位角12对,内错角6对,同旁内角6对

蓝、红、黑为一组,形成:同位角12对,内错角6对,同旁内角6对

红、绿、黑为一组,形成:同位角12对,内错角6对,同旁内角6对

所以共形成:同位角48对,内错角24对,同旁内角24对。第一小题完成。

第二种思路:

基于“任意两条直线被第三条直线所截,形成:同位角4对,内错角2对,同旁内角2对”的基本单元构成。

从4条直线中任意选出2条直线,有6种可能;剩下2条直线,这2条直线就可以作为第三条直线。那么构成上述基本单位的数量为:6×2=12

所以共形成:同位角4×12=48对,内错角2×12=24对,同旁内角2×12=24对。第一小题完成。

总结:第一种思路做4条直线还是可以的,比较直观。第二种思路是为接下来的第二小题做铺垫的,应掌握第二种思路的解题方法。

3、 再走一步

若n=5,即有5条直线

▲图5

4条直线,有6个相交点,第5条直线加入后,就有6+4=10个相交点了。形成20对对顶角。

同理:基于“任意两条直线被第三条直线所截,形成:同位角4对,内错角2对,同旁内角2对”的基本单元构成。

从5条直线中任意选出2条直线,有10种可能;剩下3条直线,这3条直线就可以作为第三条直线。那么构成上述基本单位的数量为:10×3=30

所以共形成:同位角4×30=120对,内错角2×30=60对,同旁内角2×30=60对。

再走一步其实是为解第二小题打基础的。

4、 当n=n

当n=n,即有n条直线两两相交于不同点。

首先来看形成多少个相交点:

n=1,0个相交点

n=2,1个相交点

n=3,3个相交点(加入第3条后,多形成2个交点,即1+2=3)

n=4,6个相交点(加入第4条后,多形成3个交点,即1+2+3=6)

n=5,10个相交点(加入第5条后,多形成4个交点,即1+2+3+4=10)

……

n=n,n(n-1)个相交点[加入第n条后,多形成n-1个交点,即1+2+3+4+(n-1)=n(n-1)]

所以形成2×n(n-1)= n(n-1)对对顶角。

再基于“任意两条直线被第三条直线所截,形成:同位角4对,内错角2对,同旁内角2对”的基本单元构成。

从n条直线中任意选出2条直线,有n(n-1)种可能;剩下(n-2)条直线,这(n-2)条直线就可以作为第三条直线。那么构成上述基本单位的数量为:n(n-1)×(n-2)= n(n-1) (n-2)。

这里“从n条直线中任意选出2条直线,有n(n-1)种可能”是有难度的,属于超范围了,要用到排列组合的相关知识。

基本单元数量有了,所以共形成:

同位角4×n(n-1) (n-2)= 2n(n-1) (n-2)对,内错角2×n(n-1) (n-2)= n(n-1) (n-2)对,同旁内角2×n(n-1) (n-2)= n(n-1) (n-2)对,第二小题完成。

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