体积有限的物体表面积却可以无限(表面积无穷大体积有限的三维图)

导语：这个图形的体积是有限的，但表面积却是无穷大的

如下是一个简单的反比例函数，我们在初中都学过

现在让其绕X轴旋转一周，就形成一个尾巴无限长的三维形状图形，这就是著名的托里拆利小号，今天来看下这个图形的表面积是如何计算的

表面积等于底部周长乘以高，但对于不规则的图形，就要用到微积分知识了，如下取图形微小的一部分，高度记为dx，将其展开可以看到是一个扇形，A对应的是底部周长，B就是微元dx

这里的圆弧A对应的半径就是y=1/x，所以托里拆利小号的表面积就是如下公式

在这里计算ds,它对应的是dx和dy

根据勾股定理我们得到

然后将其化简得到如下公式，这就是数学中的弧长公式

这里对y=1/x进行求导，得到dy/dx=1/x^2

所以我们得到了如下公式

因为这里的x是趋于正无穷大，

根号下的式子永远大于1，所以可以用1/x代替整个计算公式，最终得到托里拆利小号的表面是趋于无穷大的

有兴趣的朋友可以试着计算下该图形的体积，非常简单，你会发现它的体积是一个常数π。

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