正交表是怎么设计的(正交表的原理)

导语：试验设计—正交表的使用方法

在进行科学研究时，我们往往需要考虑多个因素和水平来进行试验设计。当因素数和水平数不多的情况下，我们首先考虑的是全面试验，通过数据分析获得丰富的信息，并且得到的分析结果也较为准确。但是，全面试验的试验次数很多，当试验因素数和水平数较多时，该方法就不适用了。

这时候就需要我们选择一个简单比较法——正交试验设计。

正交试验设计是研究多因素多水平的一种设计方法，它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了"均匀分散，齐整可比"的特点，正交试验设计是一种基于正交表的、高效率、快速、经济的试验。

正交试验设计通常通过正交表来安排试验。因此，要学会正交试验设计，首先就要学会正交表的使用。

在介绍正交表的具体内容前，我们先了解一下几个基本概念。

⑴因素数factors：在一项试验中，凡是需要考察的变量的个数。在正交表中为列的个数，这里我们用m表示。

⑵水平数levels，在试验范围内，因素被考察的值的个数（变量的取值个数），这里我们用k表示。

⑶试验次数（Runs）：最后生成的正交表的行数，一条（行）记录也就是一次实验，这里我们用n表示。

⑷正交表的表示形式：

例如：

L9(3^4)正交表：4代表因素数，此正交表中所含的列的数目；3为因素的水平数，所有因素都为3水平；9为此正交表的行数，该试验设计的试验次数为9次。

L16(4×2^12)正交表：有1列为4水平，12列为2水平，一共可安排16次试验。

1.正交表的性质：

正交表必须要满足正交性，否则该正交表不成立。

①任意一列中，各水平都出现，且出现的次数相等。

例如：在两水平正交表中，对水平编码为"1"和"2"，编码"1"和"2"均出现在每一列中且在每一列中出现次数相等，而任意两列中所构成的有序对子出现的次数相等。在三水平正交表中，对水平编码为"1"、"2"和"3"，而编码"1"、"2"、"3"均出现在每一列中且在每一列中出现次数相等，任意两列中所构成的有序对子出现的次数也均相等。这反映了试验点分布的均匀性。

②任意两列之间各种不同水平的所有可能的组合都出现，且出现的次数相等。

例如：在两水平正交表中，任意两列中所构成的有序对子（（1，1），（1，2），（2，1），（2，2））都出现，且出现的次数相等。在三水平正交表中，任意两列中所构成的有序对子（（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3））都出现，且出现的次数相等。这一点反映了试验点分布的均衡性。

正交性体现了充分体现了正交表的"均匀分散，整齐可比"的特点，因此正交表具有很强的代表性。

2.正交表的类别

⑴等水平正交表

每一列的水平数均相等的正交表称为等水平正交表。若Ln(K^m)中k=2，如L4(2^3)、L8(2^7)等，则这一类正交表都为两水平正交表；若k=3，如L9(3^4)、L27(3^13)等，则这一类正交表都为两水平正交表。

⑵混合水平正交表

各列水平数不完全相同的正交表称为混合水平正交表。如L16(4×2^12)，即：此表的13列中，有1列为4水平，12列为2水平，这类正交表就是混合水平正交表。

3.正交表的选择

当知道实际的因子数和水平数时，可以通过根据公式：试验次数(行数)＝∑(每种因素水平数-1)+1，来确定最低试验次数，进而选择适合的正交表。

比如，要考察4因素2水平的研究时，根据公式可算得试验次数(行数)=(2-1)×4+1=5，则这个研究最低需要5次试验。

又如，要考察4因素2水平及5因素3水平的研究时，根据公式可算得试验次数(行数)=(2-1)×4+(3-1)×5+1=15，则这个研究最低需要15次试验。

例1：四君子汤由人参、白术、茯苓和甘草组成，若要找出该复方的最佳组合，应如何安排试验。该研究有4个因素，分别是A（人参），B（白术），C（茯苓），D（甘草），每个因素有3个水平。

我们对这个研究来分析一下：

(1)该研究有4个因素，水平数都为3。

(2)选择正交表：

本题，水平数=3，因素数=4，最低需要(3-1)×4+1=9次。

①若不考虑交互作用

查询附录中的正交表，取水平数为3，因素数≥4，且行数最少的正交表，只有L9(3^4)的行数最少，比较适合。

②若考虑交互作用

L9(3^4)就不合适了，因为它没有交互作用列，此时，就需要考虑选择其他交互表，如L27(3^13)。

例2：某化工厂为了处理含有毒性物质锌和镉的废水，选取因素及水平如下表所示。

我们对这个研究来分析一下：

(1)该研究有4个因素，A因素的水平数为4，其余三个因素的水平数都为3。

(2)选择正交表：

本题，水平数>=max(4,2)=4，因素数≥4，最低需要(4-1)×1+(2-1)×3+1=7次。

①若不考虑交互作用

查询附录中的正交表，取水平数为4，因素数≥4，且行数最少的正交表，只有L8(4×2^4)的行数最少，比较适合。

②若考虑交互作用

L8(4×2^4)就不合适了，因为它仅有一列交互作用列，此时，就需要考虑选择其他交互表，如L16(4×2^12)。

正交表的介绍与使用今天就讲到这里，更多试验设计知识，小编将会在后期的文章中介绍。如果你有试验设计方面的问题可以在评论区提出来，大家一起来讨论。

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