导语：高中生解决了关于素数相似度的难题

当丹尼尔·拉森上中学时，他开始设计填字游戏。在赢得区域比赛后，他两次获得华盛顿特区附近的斯克里普斯国家拼字比赛资格。“他专注于某件事，就算碰到困难，他也从来不放弃，直到他成功，”拉森的母亲说。拉森的第一个填字游戏被各大报纸拒绝，但他坚持了下来，最终闯了进来。迄今为止，他保持着13 岁时在《纽约时报》上发表填字游戏最年轻的记录。

拉森在过去的一年里开始思考关于数学的问题, 它源于一个更广泛的问题，数学家卡尔·弗里德里希·高斯认为这是数学中最重要的问题之一：如何区分素数(只能被和自身整除的数)和合数。数百年来，数学家一直在寻找一种有效的方法来做到这一点。这个问题在现代密码学的背景下也变得相关，因为当今一些最广泛使用的密码系统涉及使用大量素数进行算术运算。

一个多世纪以前，在寻求快速、强大的素数测试的过程中，数学家偶然发现了一群麻烦制造者——这些数字可以让测试误以为它们是素数，即使它们不是。这些被称为卡迈克尔数的伪素数特别难以掌握。直到年代中期，数学家才证明它们的数量是无限的。这就引出另一个问题，要想进一步了解它们在数轴上的分布情况，则是一个更大的挑战。

随后，拉森带来了一个关于这一点的新证明，其灵感来自于数论不同领域最近的划时代工作。当时，他只有岁。

从小对数学痴迷

拉森在印第安纳州布卢明顿长大，一直被数学所吸引。他的父母都是数学家，在他和他的姐姐很小的时候就向他们介绍了这门学科。林登施特劳斯回忆说, 当拉森岁时,他开始问她关于无穷大本质的哲学问题。

然后几年前——大约在他沉浸于拼写和填字游戏项目的时候， 他看到了一部关于张益堂的纪录片，这位不知名的数学家在证明了一个里程碑式的结果后于年从默默无闻中崛起，该结果为连续素数之间的间隔。拉森他不停地思考那些数学家仍然希望解决的相关问题：孪生素数猜想-它指出有无穷多对仅相差的素数。

在张益堂的工作表明有无穷多对相差不到万的素数之后，其他人也加入进来，进一步降低了这个界限。几个月内，数学家詹姆斯·梅纳德和特伦斯·陶独立地证明了关于素数差距的更强有力的陈述。此后，这一差距缩小到个。

拉森想了解James Maynard和陶哲轩工作背后的一些数学原理，但是这些数学家的论文对他来说难度太大了。拉森试图阅读其他相关的作品，却发现也难以理解。但是他没有放弃，一直坚持下去，从一个结果跳到另一个结果，直到最后，在年月，他发现了一篇他认为既漂亮又易于理解的论文。它的主题是：卡迈克尔数，这些奇怪的合数有时会伪装成素数。

卡迈克尔数

世纪中叶，法国数学家皮埃尔·德·费马(Pierre de Fermat)给他的朋友和知己Frénicle de Bessy写了一封信，信中他陈述了后来被称为费马小定理的东西。如果是素数，则无论是什么，始终是的倍数。例如，是质数，因此（等于）是 的倍数。类似地， 是的倍数，依此类推。

数学家看到了完美检验给定数字是素数还是合数的希望。他们知道如果是素数，总是的倍数。但是反过来是不是也是对的呢？也就是说，如果是所有值的的倍数，那么一定是素数吗？

事实证明，在极少数情况下，可以满足这个条件并且仍然是对的。最小的数字是：对于任何整数，始终是的倍数，即使不是素数。像这样的数字以数学家罗伯特·卡迈克尔（Robert Carmichael）的名字命名。

数学家想要更好地理解这些与数论中最基本的对象素数非常相似的数字。事实证明，在年(比 Carmichael的结果早了十年)另一位数学家Alwin Korselt提出了一个等价的定义。他只是不知道是否有任何数字符合要求。

根据Korselt的准则，一个数是一个卡迈克尔数当且仅当它满足三个属性。

它必须有一个以上的主要因素。没有任何质数可以重复对于每个能整除的素数， 也能整除。

再次考虑数字。它等于，因此它显然满足Korselt列表中的前两个属性。为了显示最后一个性质，从每个素因数中减，得到、 和。此外，从 中减去。所有三个较小的数字都是的除数。因此，数字是卡迈克尔数。

尽管数学家怀疑卡迈克尔数有无穷多个，但与素数相比却相对较少，这使得它们难以确定。然后在年，Red Alford、Andrew Granville和Carl Pomerance发表了一篇突破性的论文，他们最终证明了这些伪素数确实是无限多的。

遗憾的是，他们提出的方法无法说出这些卡迈克尔数的真实面目，比如它们是否沿着数轴成簇出现以及中间是否有很大的间隔？又或者是否总能在短时间内找到一个卡迈克尔数？Granville表示：你会想，如果能证明它们的数量是无穷多的就好了。当然你应该能够证明它们之间没有很大的间隔，它们应该相对间隔开。

但几十年来，没有人能证明这一点。由Alford、Granville和Pomerance提出的方法让我们能够证明将会有很多卡迈克尔数，但并没有真正指出它们到底出现在哪里。

年月，转机来了。Granville收到了一封来自拉森的电子邮件，并附上一张证明纸。令 Granville 惊讶的是，他的证明看起来是正确的。虽然读起来并不容易，但很明显他并不是在胡闹，提出了绝妙的想法。

Pomerance阅读了该作品的更新版本，同意了他的证明非常先进, 他表示这将是一篇任何数学家都会为写下而感到自豪的论文，况且他是高中生写的。

拉森证明的关键是首先将他吸引到卡迈克尔数的工作：Maynard和陶哲轩关于素数间隙的结果。

不太可能到并非不可能

当 Larsen 第一次着手证明总能在很短的时间内找到一个卡迈克尔数时，他表示，卡迈尔克数看起来切切实实存在，证明它又有多难呢？不过，他很快意识到这确实很难，并认为这是一个考验我们时代技术的问题。

在Alford、Granville和Pomerance他们的年的论文中展示了如何创建无限多个卡迈克尔数。但是他们无法控制他们用来构建它们的素数的大小。这就是拉森需要做的事情, 建立规模相对接近的卡迈克尔数。问题的难度让他的父亲迈克尔·拉森（Michael Larsen）感到担忧。“我不认为这是不可能的，但我认为他不太可能成功，”他说。“我看到他在这件事上花了很长时间, 我觉得如果他为此付出了这么多自己却没有得到它，那对他将是毁灭性的打击。”

不过，他父亲也知道自己最好不要阻止。拉森父亲说: “当拉森尔致力于做他真正感兴趣的事情时，他会不顾一切地坚持下去。”

所以拉森回到了Maynard的论文——特别是为了证明如果采用了某些具有足够数字的序列，这些数字的某些子集一定是素数。拉森修改了Maynard的方法，将它们与Alford、Granville和Pomerance使用的方法相结合。这使他能够确保他最终得到的素数大小不同——足以产生落在他想要的区间内的卡迈克尔数。

Granville说: “他对事情的控制比我们以往任何时候都多，他通过特别巧妙地利用Maynard的研究实现了这一点。” 芬兰图尔库大学的数学家Kaisa Matomäki说：“将这一进展用于素数之间的短间隙并不容易。很高兴他能够将这个问题与关于卡迈克尔数字的问题结合起来。”

事实上，拉森的论点不仅允许他证明迈克尔数字必须始终出现在和之间。他的证明也适用于更小的间隔。数学家现在希望它也有助于揭示这些奇怪数字行为的其他方面。南卡罗来纳州沃福德学院研究伪素数的数学家托马斯赖特说: “这是一个不同的想法，它改变了很多关于我们如何证明卡迈克尔数的事情。”

目前，拉森刚开始在正在 MIT 读大一。他不确定下一步他会解决什么问题，但他很想知道那里有什么。他努力上课学习，并始终保持开放的心态。

Jon Grantham评价拉森说: 他在没有本科教育的情况下完成了这一切，我很期待他上了研究生又会取得哪些成果。

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