均值不等式常见解法(均值不等式方法总结)

导语：均值不等式的“十一大方法与八大应用”

均值不等式的“十一大方法与八大应用”

十一大方法

方法一：“定和”与“拼凑定和”

【典例分析】

【方法技巧总结】

方法二：“定积”与“拼凑定积”

【典例分析】

【方法技巧总结】

技巧：观察积与和哪个是定值，根据“和定积动，积定和动”来求解，不满足形式的可以进行拼凑补形。与函数有关的题型还会用到正负变法、添项法、拆项法等。

方法三：“和积化归”

【典例分析】

【方法技巧总结】

技巧：根据和与积的关系等式，结合均值不等式可以求出积或和的最值，这样的方法叫做“和积化归”。

方法四：“化1”与“拼凑化1”

【典例分析】

【方法技巧总结】

1. 技巧：化1法流程为：①条件化1，与问题相乘，②将乘积式展开为四项，其中两个含参，另外两个为常数，③对其适用均值定理推论进行求最值。

2. 注意：要先观察条件与问题的形式，需满足条件与问题分别为（或可整理为）两个含单参数的单项式相加的形式，且这四个单项式有两个参数在分母，另外两个参数在分子。

方法五：“不等式链”

【典例分析】

【方法技巧总结】

方法六：“复杂分式构造”

【典例分析】

【方法技巧总结】

1.技巧:把分式化为齐次式，可通过拼凑和同除的方法进行构造出均值定理的形式再进行求解最值。

2. 注意：要观察取等条件，看是否满足定义区间。

方法七：“换元法”

【典例分析】

【方法技巧总结】

1.方法：代数换元、三角换元。

2. 技巧：代数换元：先对等式进行拼凑补形，再进行换元，结合函数以及导数确定单调性进而求解最值。三角换元：结合三角函数知识，将已知多个变量转化为三角变量，进而化归为三角函数，结合三角函数最值求法来求解。

方法八：“消元法”

【典例分析】

【方法技巧总结】

技巧:对含有多元变量的函数求最值时通常要减少变量的个数，减少变量的个数方法有:①代入消元，把其中一个变量用其它变量表示后代入消元;②对齐次式可通过构造比值消元.

方法九：“平方法”

【典例分析】

【方法技巧总结】

技巧：当碰到含多个根号的形式或条件与问题次幂不统一时可以尝试对其平方，再进一步构造进而形成可用均值定理的形式。

方法十：“连续均值”

【典例分析】

【方法技巧总结】

技巧：连续适用均值定理要注意不等号方向的统一，以及取等情况的合理性。

方法十一：“三元均值”

【典例分析】

【方法技巧总结】

八大运用

应用一：在常用逻辑用语中的应用

【典例分析】

应用二：在函数中的应用

【典例分析】

应用三：在解三角形中的应用

【典例分析】

应用四：在平面向量中的应用

【典例分析】

应用五：在数列中的应用

【典例分析】

应用六：在立体几何中的应用

【典例分析】

应用七：在直线和圆中的应用

【典例分析】

应用八：在圆锥曲线中的应用

【典例分析】

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